Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.

    Интегрирования по частям.

    Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл , то на нем существует и интеграл причем

    (1)

    Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида где - многочлен, а - любая элементарная функция. При этом:

    1. если , то

    2. если то

     

    Пример 1.

    =

    =

     

    Пример 2.

    =

    Пример 3.

    =

    =

    В некоторых задачах для вычисления интегралов приходится интегрировать по частям несколько раз.

    Пример 4.

    = = = = =

    Интегрирование по частям возможно и в том случае, если вместо многочлена стоит другая элементарная функция.

    Пример 5.

    = = =

    Таким образом, т.е.

    Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе.

    В этом параграфе мы рассмотрим вычисление следующих интегралов:

     

    1. Рассмотрим интеграл .

    Преобразуем трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:

     

    где введено обозначение

    Знак «+» или «-» берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.

     

     

    Таким образом,

    = =

     

     

    Пример 1. Вычислить .

    Решение.

    =

     

    =

     

     

    Пример 2. Вычислить .

    Решение:

    =

    = = .

     

    2. Рассмотрим интеграл следующего вида:

    Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции с таким умыслом, чтобы в числителе появилась скобка, равная производной от знаменателя:

     

    Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

     

     

    (теперь становится понятной наша хитрость с выделением скобки)

     

     

    Итак:

     

    Пример 3. Вычислить

    Решение:

     

     

     

    3. Рассмотрим интеграл .

    Применяя те же преобразования, что и для интегралов , можно показать, что этот интеграл сводится, в зависимости от знака a, к табличным интегралам:

    = =

    =

     

    = =

     

    Пример 4. Вычислить .

    Решение:

    =

     

    Пример 5. Вычислить .

     

    =

    4. Интеграл вида .

    Этот интеграл вычисляется при помощи преобразований, аналогичных п.2, т.е. выделением в числителе скобки, равной производной от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:

     

    = =

     

     

     

     

    Итак:

     

    Пример 6. Вычислить .

    Решение:

    = =

    = - =

    =

    =

     

    Пример 7. Вычислить .

    Решение:

    = =

     

    = + =

     

    =

     

     

    5. Интеграл вида

    Проведем преобразования:

    Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции подстановкой

     

    Второй интеграл (обозначим его ) запишем в виде:

    где мы положили

    Далее, беря по частям, получаем:

     

    Таким образом, получилось рекурентное соотношение

     

    Для имеем

    далее ищем полагая

    далее ищем полагая и т.д.

     

    Пример 8. Вычислить интеграл

    Запишем рекурентное соотношение:

    Имеем:

    Тогда

     

    <== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
    Поправка циклового наполнения | Введение. Как побеждать в конфликтных ситуациях




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.