Моделирование экономических и производственных процессов методами линейного программирования

Задание 1. Максимизация выпуска продукции при ограничениях на расход ресурсов

Экономическая постановка задачи: Для производства продукции нескольких видов используются ресурсы, устанавливается перечень ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано. Известен расход каждого ресурса на единицу продукции каждого продукта. Известна стоимость единицы продукции. Необходимо определить, сколько единиц каждой продукции нужно произвести, чтобы получить максимальный объем выручки.

Математическая формализация: - планируемый объем производства го продукта, где - виды продукции; - запас го ресурса, где - виды ресурсов; - цена стоимости единицы го продукта; технологические коэффициенты, показывающие расход го ресурса на производство го продукта.

Дана матрица технологических коэффициентов:

	Продукты и технологическая матрица	Запас ресурсов
	Пр1	Пр2	Пр3
Рес1	1, 6	0, 3	0, 5
Рес2	0, 8	1, 1	0, 9
Рес3				2 200
Цена на Пр(j)

Найти план производства или, что тоже самое, найти , при которых суммарная стоимость продукции будет максимальной, это и есть в данном случае критерий оптимальности. Очевидно, что . Данное ограничение может быть иным, например, производство должно быть не менее, чем определенная величина , тогда . Если обозначить через валовой продукт в денежном выражении, то оптимальный план это такой набор , при котором достигается максимум , при одновременном выполнении ограничений по ресурсам . Также отметим, что есть задачи в которых тот или иной ресурс должен быть израсходован более определенной величины, например, когда слишком большие затраты на хранение или вообще нельзя долго хранить, тогда ограничение принимает вид , где - минимальный размер ресурса, который должен быть израсходован.

Математическая формулировка задачи имеет вид:

Целевая функция: ;

Ограничения: ;

;

.

.

Допустимый план это набор удовлетворяющий системе ограничений, оптимальный план это тот, при котором целевая функция принимает максимальное значение, оптимальных планов может быть несколько или один или вообще не существовать, например, когда нет ограничений по ресурсам, целевая функция неограниченно возрастает.

Рассмотрим применение Excel для решения данной задачи.

В ячейке G6 записано выражение для целевой функции:

ЦФ=B6*B8+C6*C8+D6*D8. В ячейке G2, G3, G4 – приводим расход каждого ресурса:

G2=B2*B8+C2*C8+D2*D8;

G3=B3*B8+C3*C8+D3*D8;

G4=B4*B8+C4*C8+D4*D8.

Вызываем: “Сервис - Поиск решения”, в диалоговом окне которого указываем целевую ячейку -$G$6;

Указываем: установить максимальное значение для целевой функции, изменяя ячейки $B$8: $D$8 (в них находятся искомые значения переменных ).

Добавляем ограничения задачи по ресурсам: ; ;

и по не отрицательности переменных: .

Даем команду выполнить.

В результате в ячейках B8, C8, D8 появляются искомые значения переменных: X1=86; X2=0; X3=268. Это и есть оптимальный план производства.

Одновременно заполняются ячейки расхода ресурсов: G2=271, 6; G3=310, 0; G4=2200.

Как можно видеть, второй и третий ресурсы израсходованы полностью, а первый ресурс частично. Если ресурс израсходован полностью, то данное ограничение является жестким. Excel отмечает данное обстоятельство термином “связанное” ограничение. Если ресурс израсходован не полностью, то данное ограничение нежесткое, что отмечается термином несвязанное ограничение.

Задание 2.

Задание 3.

Задание 4

Задание 5