Применение магических квадратов

В средние века для шифрования перестановкой применялись и магические квадраты.

Магическими квадратами называют квадратные таблицы с вписанными в их клетки последовательными натуральными числами, начиная от 1, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и каждой диагонали одно и то же число.

Шифруемый текст вписывали в магические квадраты в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения. В те времена считалось, что созданные с помощью магических квадратов шифртексты охраняет не только ключ, но и магическая сила.

Пример магического квадрата и его заполнения сообщением ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО показан на рис. 4.

Рис. 4. Пример магического квадрата 4х4 и его заполнения сообщением

ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО

Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет вполне загадочный вид:

ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП

Число магических квадратов быстро возрастает с увеличением размера квадрата. Существует только один магический квадрат размером 3х3 (если не учитывать его повороты). Количество магических квадратов 4х4 составляет уже 880, а количество магических квадратов 5х5 - около 250000.

Под магическим квадратом порядка N понимается квадратная матрица размером NxN из N в квадрате последовательных элементов произвольной арифметической прогрессии натуральных чисел, которые размещены так, что суммы элементов любого столбца, строки или главной диагонали одинаковы. Результат вычисления любой из перечисленных сумм принято называть константой логического квадрата. Порядок магического квадрата определяется числом элементов любого столбца или строки. Например, магический квадрат 3-го порядка из 9-ти 1-х натуральных чисел (известный в Китае как талисман ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3:

Константа квадрата ло-шу равна 15. Это единственный квадрат 3-го порядка, который можно построить из натуральных чисел от 1 до 9, если не использовать преобразований поворота и отражения. Классический образец магического квадрата 4-го порядка, известный еще в Древней Индии, представляется следующей матрицей 4x4:

Константа " индийского" квадрата равна 34. В несколько измененном виде (достигаемом перестановкой строк и столбцов):

он известен художникам по филосовской гравюре А. Дюрера " Меланхолия".