Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Составление магических квадратов нечетного порядка
|
|
Наибольший практический интерес представляют универсальные методы, которые не зависят от порядка магического квадрата. Такие методов известны для магических квадратов нечетного порядка. Наиболее наглядный из них удобно рассмотреть на примере составления магического квадрата 5-го порядка из натуральных чисел от 1 до 25. Алгоритм этого метода включает следующие шаги.
1. Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке, где ячейки для элементов квадрата обозначены символом #, а достроенные ячейки - символом $.
| $ | ||||||||
| $ | $ | $ | ||||||
| # | # | # | # | # | ||||
| $ | # | # | # | # | # | $ | ||
| $ | $ | # | # | # | # | # | $ | $ |
| $ | # | # | # | # | # | $ | ||
| # | # | # | # | # | ||||
| $ | $ | $ | ||||||
| $ |
2. Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху-вниз-направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:
| $ | ||||||||
| # | # | |||||||
| # | # | # | ||||||
| $ | # | # | $ | |||||
| # | # | # | ||||||
| # | # | |||||||
| $ | ||||||||
3. Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата на число позиций, равное порядку квадрата. В рассматриваемом примере перенос осуществляется на 5 позиций. Таблица переносов имеет следующий вид:
| 1 - вниз под 13; | 2 - вниз под 14; | 6 - вниз под 18; |
| 21 - вправо за 13; | 22 - вправо за 14; | 16 - вправо за 8; |
| 5 - влево перед 13; | 4 - влево перед 12; | 10 - влево перед 18; |
| 25 - вверх над 13; | 24 - вверх над12; | 20 - вверх над 8. |
Освобождающиеся ячейки, достроенные к исходному квадрату заполняются символом $.
4. После преобразования переноса на шаге 3 освободившиеся ячейки (заполненные символом $) должны быть исключены. Оставшиеся (внутренние) ячейки (заполненные натуральными числами) образуют магический квадрат, представленный следующей матрицей 5x5:
константа которого равна 65, что может быть проверено вычислением суммы элементов для столбцов, строк и главных диагоналей.
Составление магических квадратов в четном порядке
Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок которых является экспонентой 2. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.
1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом #). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:!
| # | # | # | # | ||||
| # | # | # | # | ||||
| # | # | # | # | ||||
| # | 26 | 27 | # | # | 30 | 31 | # |
| # | # | # | # | ||||
| # | # | # | # | ||||
| # | # | # | # | ||||
| # | # | # | # |
! 2. Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справо-налево и снизу-вверх. Недиагональные элементы в каждом подквадрате должны быть отмечены (например, символом $), а числа, приходящиеся на них должны быть пропущены. Результат заполнения диагональных элементов для квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:
!
| $ | $ | $ | $ | ||||
| $ | $ | $ | $ | ||||
| $ | $ | $ | $ | ||||
| 40 | $ | $ | 37 | 36 | $ | $ | 33 |
| $ | $ | $ | $ | ||||
| $ | $ | $ | $ | ||||
| $ | $ | $ | $ | ||||
| $ | $ | $ | $ |
! 3. Квадраты с пропусками диагональных и недиагональных элементов, полученные на шагах 1 и 2, объединяются в общий квадрат, где целочисленные элементы подавляют метки # или $. Результат объединения для квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:
Константа этого магического квадрата равна 260, что подтверждается вычислением контрольных сумм элементов по строкам, столбцам и главным диагоналям.
|
|