Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






    • Комплексные числа


    ⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 47Следующая ⇒




     

    Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i 2 = –1.

    Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если
    b = 0, то число а + 0 i = а отождествляется с действительным числом а.

    Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С.

    Для комплексного числа z = a + bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.

     

    Пример 1. Для комплексного числа z определить Rez и Imz:

    а) z = 2 + 5 i;

    б) z = 1 – 3 i;

    в) z = 2;

    г) z = 5 i;

    д) z = i.

    Решение

    а) Rez = 2, Imz = 5;

    б) так как z = 1 – 3 i = 1 + (–3) i, то Rez = 1, Imz = –3;

    в) так как z = 2 = 2 + 0 i, то Rez = 2, Imz = 0;

    г) так как z = 5 i = 0 + 5 i, то Rez = 0, Imz = 5;

    д) так как z = i = 0 + 1 i, то Rez = 0, Imz = 1.

     

    Тест 1. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 5 + 4 i равна:

    1) 9;

    2) 5;

    3) 4;

    4) (–4);

    5) 1.

    Тест 2. Мнимая часть Imz комплексного числа z = 7 – i равна:

    1) 7;

    2) 1;

    3) 0;

    4) (–1);

    5) (–7).

     

    Тест 3. Действительная часть Rez комплексного числа z = –4 i равна:

    1) –4;

    2) 0;

    3) 4;

    4) 1;

    5) (–1).

     

    Два комплексных числа z 1 = а 1 + b 1 i и z 2 = а 2 + b2i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а 1 = а 2, b 1 = b 2. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.

     

    Пример 2. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z 1 = 2 + 3 i; z 2 = 2 + 5 i; z 3 = 1 + 3 i; z 4 = –1 + 3 i; z 5 = 2 + 3 i.

    Решение

    Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные действительные части: z 1, z 2, z 5. Так как при этом Imz 1 =
    = Imz 5 = 2, Imz2 = 5, то равными являются комплексные числа z 1 и z 5.

    Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
    Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
    Что умеет делать SeoHammer
    — Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
    — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
    — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
    — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
    SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
    Зарегистрироваться и Начать продвижение

    Ответ: z 1 = z 5.

     

    Тест 4. Даны комплексные числа: z 1 = 2 + 3 i; z 2 = 4 – i; z 3 = 3 + 2 i; z 4 = –4 + i; z 5 = 4 + i; z 6 = 4 – i; z 7 = 2 – 3 i; z 8 = 4 – i; z 9 = 3 – 2 i. Среди них равными являются:

    1) z 1 = z 3 = z 7 = z 9;

    2) z 7 = z 9;

    3) z 2 = z 5 = z 6 = z 8;

    4) z 2 = z 4;

    5) z 2 = z 6 = z 8.

     

    Два комплексных числа z = а + bi и = а – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

     

    Пример 3. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 7 – i.

    Решение

    Сопряженным к данному комплексному числу будет комплексное число = 7 + i.

    Ответ: = 7 + i.

     

    Тест 5. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 2 + 3 i:

    1) = 2 – 3 i;

    2) = –2 – 3 i;

    3) = –2 – 3 i;

    4) = 2 + 3 i;

    5) = 3 + 2 i.

     

    Тест 6. Указать число, сопряженное к комплексному числу z = 3 i:

    1) = 3 i;

    2) = 0;

    3) = –3 i;

    4) = 1;

    5) = –1.

     

    Запись числа z в виде z = а + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

    Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Если z 1 = а + bi, z 2 = с + di, то

    z 1 + z 2 = (а + bi) + (с + di) = а + bi + с + di = (а + с) + (b + d) i; (1)

    z 1 – z 2 = (а + bi) – (с + di) = а + bi – с – di = (а – с) + (b – d) i. (2)

     

    Пример 4. Даны два комплексных числа z 1 = 2 + i и z 2 = 4 – 3 i. Найти их сумму и разность.

    Решение

    В соответствии с формулами (1), (2) при а = 2, b = 1, с = 4, d = –3 получаем

    z 1 + z 2 = (2 + i) + (4 – 3 i) = 2 + i + 4 – 3 i = (2 + 4) + (1 – 3) i = 6 – 2 i;

    z 1 – z 2 = (2 + i) – (4 – 3 i) = 2 + i – 4 + 3 i = (2 – 4) + (1 + 3) i = –2 + 4 i.

    Ответ: 6 – 2 i; –2 + 4 i.

     

    Тест 7. Сумма комплексных чисел z 1 = 1 + i и z 2 = 2 – 2 i равна:

    1) 4 – i;

    2) 3 – i;

    3) 5 + i;

    4) 5;

    5) 3 + i.

     

    Тест 8. Разность комплексных чисел z 1 = 3 + i и z 2 = 4 – 2 i равна:

    1) –1 – i;

    2) 1+ i;

    3) 1 – 3 i;

    4) –1 + 3 i;

    5) 1 – i.

     

    Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат Оxy. Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой М (a; b) на плоскости Оxy такой, что а = Rez, b = Imz. И, наоборот, каждую точку М (a; b) координатной плоскости Оxy можно рассматривать как образ комплексного числа z = a + bi (рисунок 20).

    Рисунок 20

     

    Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0 i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.

    Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
    — Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
    — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
    — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
    — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
    — Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
    — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
    — Включает в себя сервис чаевых.

    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Зарегистрироваться в сервисе

     

    Пример 5. На комплексной плоскости изобразить число z = 2 – 3 i.

    Решение

    Для данного комплексного числа а = Rez = 2, b = Imz = –3. На координатной плоскости Оxy (рисунок 21) число z = 2 – 3 i изображается точкой М (2; –3).

     
     


    Рисунок 21

     

    Комплексное число z = а + bi, заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде. Изобразим число z точкой М (а; b) комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рисунок 22).

     

    Рисунок 22

     

    Тест 9. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –5 + 2 i:

     

    1) 2) 3)

     

    4) 5)

     

     

    Тест 10. Указать, на какой комплексной плоскости точка М является изображением комплексного числа z = –2 i:

     

    1) 2) 3)

     

    4) 5)

     

    Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора точки М (а; b), изображающей данное число.

    Обозначение: или r.

    Из прямоугольного треугольника ОМа (рисунок 22) по теореме Пифагора Следовательно, или
    r

     

    Пример 6. Найти модуль комплексного числа z = 1 – 3 i.

    Решение

    Для данного комплексного числа а = 1, b = –3. Следовательно,

    = =

    Ответ: .

     

    Тест 11. Модуль комплексного числа z = 4 + 3 i равен:

    1) 25;

    2) 5;

    3) 7;

    4) 49;

    5) 24.

     

    Тест 12. Модуль комплексного числа z = – i равен:

    1) –1;

    2) 0;

    3) 1;

    4) 2;

    5) 5.

     

    Тест 13. Модуль комплексного числа z = 4 равен:

    1) –1;

    2) 0;

    3) 1;

    4) 4;

    5) 2.

     

    Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ.

    Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π).

    Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz +
    + 2π k, k Î Z.

    С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφ i или z = r (cosφ + i sinφ), где

    r = (3)

    cosφ = , sin φ = . (4)

    Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.

     

    Пример 7. Представить комплексное число z = –1 + i в тригонометрической форме.

    Решение

    z = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа z, при этом а =
    = –1, b = 1. Применяя формулы (3), (4), находим r = =
    = cosφ = sinφ =

    Так как cosφ = sinφ = и φ Î [0; 2π), то φ = Следовательно, тригонометрическая форма данного числа z имеет вид

    z =

    Ответ: z =

     

    Тест 14. Тригонометрическая форма комплексного числа z =
    = имеет вид:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

     

    Тест 15. Тригонометрическая форма комплексного числа z = –1 имеет вид:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

     

    Два комплексных числа z 1 = r 1(cos φ 1 + i sin φ 1) и z 2 = r 2(cosφ 2 + i sin φ 2), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z 1 = z 2 Û r 1 = r 2, φ 1 = φ 2 + 2 π k, k Î Z.

     

    Пример 8. Указать, какие из комплексных чисел являются равными: z 1 = z 2 =

    z 3 = z 4 =

    Решение

    Среди данных комплексных чисел выбираем сначала те, которые имеют равные модули: z 1, z 3, z 4.Так как φ 1 = φ 3 =
    φ 4 = то равными являются комплексные числа z 1 и z 3.

    Ответ: z 1 = z 3.

     

    Тест 16. Даны комплексные числа z 1 = z 2 =
    = z 3 = z 4 =
    = 4 + Среди них равными являются:

    1) z 1 = z 2;

    2) z 1 = z 3;

    3) z 1 = z 4;

    4) z 2 = z 3;

    5) z 3 = z 4.

     

    Формула Эйлера имеет следующий вид:

    (5)

    Данная формула может быть записана в виде

    (6)

    Из формул (5) и (6) следует

    сos .

    Используя формулу (5), комплексное число z = r (cosφ + i sinφ) можно записать в виде z = rеi φ , называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.

     

    Пример 9. Представить комплексное число z = i sin в показательной форме.

    Решение

    z = + i sin – тригонометрическая форма комплексного числа z, при этом r = , φ =

    Поэтому показательная форма данного числа z имеет вид z = e

    Ответ: z = e

     

    Тест 17. Показательная форма комплексного числа z = 2 +
    + i sin имеет вид:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

     

    Тест 18. Показательная форма комплексного числа z = –1 + i имеет вид:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

     

     

    Ответы на тестовые задания

     

    Номер теста                    
    Правильный ответ                    
    Номер теста                  
    Правильный ответ                  

     

     


    ⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.