Операции над векторами в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны векторы a = (x ₁; y ₁) = x ₁ i + y ₁ j и b = (x ₂; y ₂) = x ₂ i + y ₂ j.

Тогда:

1. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых, т. е. a + b =
= (x ₁ + x ₂; y ₁ + y ₂).

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т. е. a – b = (x ₁ – x ₂; y ₁ – y ₂).

3. Каждая координата произведения вектора на число a равна произведению соответствующей координаты этого вектора на a, т. е.
a а = (a х ₁; a у ₁).

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. a × b = x ₁ × x ₂ +
+ y ₁ × y ₂.

Следствие. Длина вектора а = (x; y) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т. е.

= (5)

Пример 4. Даны векторы b = 3 i – j.

Требуется:

1. Найти

2. Найти скалярное произведение векторов с, d.

3. Найти длину вектора с.

Решение

1. По свойству 3 находим координаты векторов 2 а, – а, 3 b, 2 b: 2 а =
= 2(–2; 3) = (–4; 6), – а = –(–2; 3) = (2; –3), 3 b = 3(3; –1) = (9; –3), 2 b =
= 2(3; –1) = = (6; –2).

По свойствам 2, 1 находим координаты векторов с, d: с = 2 a – 3 b =
= (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = – a + 2 b =(2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. По свойству 4 сd = –13 × 8 + 9 × (–5) = –104 – 45 = –149.

3. По следствию из свойства 4 | с | = = .

Тест 3. Определить координаты вектора а + b, если а = (–3; 4), b =
= (5; –2):

1) (2; 2);

2) (–3; 5);

3) (4; –2);

4) (5; 4);

5) (2; –2).

Тест 4. Определить координаты вектора а – b, если а =(2; –1), b =
= (3; –4):

1) (–1; 3);

2) (2; 3);

3) (4; –2);

4) (–4; 2);

5) (–1; 2).

Тест 5. Найти координаты вектора 3 а, если а = (2; –1):

1) (4; –3);

2) (5; –1);

3) (2; 2);

4) (5; 2);

5) (6; –3).

Тест 6. Найти скалярное произведение a, b векторов а = (1; –4),
b = (–2; 3):

1) –14;

2) 10;

3) –10;

4) –2;

5) 2.

Тест 7. Найти длину вектора а =(–12; 5):

1) 12;

2) 13;

3) ;

4) 60;

5) 10.

Ответы на тестовые задания