Системы линейных уравнений и неравенств

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x ₁, x ₂, ¼, x_n называется система вида

(1)

где а_ij и b_i – действительные числа (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений системы (1).

Матрица А = составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).

Матрица-столбец В = составленная из свободных членов уравнений системы (1), называется столбцом свободных членов системы (1).

Матрица системы (1), дополненная столбцом свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы (1):

А_В =

Пример 1. Для системы линейных уравнений

матрица системы – А = расширенная матрица системы – А_В =

Тест 1. Для системы линейных уравнений матрица системы имеет вид:

1) А =

2) А =

3) А =

4) А =

5) А =

Тест 2. Для системы линейных уравнений расширенная матрица системы имеет вид:

1) А_B =

2) А_B =

3) А_B =

4) А_B =

5) А_B =

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность n чисел (l₁; l₂; ¼; l _n), при подстановке которых вместо
х ₁, х ₂, …, х_n соответственно (х ₁ = ₁; х ₂ = ₂; …; х_n = _n) каждое уравнение системы (1) обращается в верное равенство.

Пример 2. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 3) решением системы линейных уравнений

Решение

Подставим в каждое уравнение данной системы вместо х ₁ первое число из данной упорядоченной совокупности, а вместо х ₂ – второе. Первое и второе уравнения обратятся в верные равенства

1 + 3 = 4,

2 × 1 – 3 = –1.

А третье уравнение – нет: –1 + 3 ¹ 1.

Следовательно, упорядоченная совокупность чисел (1; 3) не является решением данной системы линейных уравнений.

Ответ: нет.

Тест 3. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (1; 2; 3) решением системы линейных уравнений

1) да;

2) нет.

Тест 4. Определить, является ли упорядоченная совокупность чисел (0; –1) решением системы линейных уравнений

1) да;

2) нет.

Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

Теорема (правило Крамера). Пусть Δ – определитель матрицы системы n линейных уравнений с n неизвестными х ₁, х ₂, …, х_n. Если Δ ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам

х ₁ = ; х ₂ = ; …; х_{n =} ,

где – определитель, полученный из определителя Δ заменой в нем j -го столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1)

2)

3)

Решение

1. Уравнений в системе – 2, а неизвестных – 3. Так как правило Крамера применимо только для систем, у которых число уравнений и число неизвестных совпадают, то данную систему решить по правилу Крамера нельзя.

Ответ: правило Крамера неприменимо.

2. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ =

Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = = 2 – 2 = 0.

Так как Δ = 0, то решить данную систему по правилу Крамера нельзя.

Ответ: правило Крамера неприменимо.

3. Уравнений в системе – 2, неизвестных – 2. Матрица данной системы имеет вид А = Составим Δ – определитель матрицы системы: Δ =

Найдем его значение, используя правило вычисления определителей матрицы второго порядка: Δ = = 1 × (–1) – 2 × 3 = –1 – 6 = –7 ¹ 0.

Итак, нам дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и Δ ¹ 0. Значит, к данной системе правило Крамера применимо.

Применим его. Так как по правилу Крамера х ₁ = х ₂ = найдем значения Δ ₁ и Δ ₂. Определитель Δ ₁ получается из определителя Δ заменой в нем 1-го столбца столбцом свободных членов системы. Столбец – столбец свободных членов системы. Следовательно, Δ ₁ = = = 1 – 8 = –7.

Определитель Δ ₂ получается из определителя Δ заменой в нем 2-го столбца столбцом свободных членов системы. Следовательно,

Δ ₂ = = = 4 + 3 = 7.

Тогда: х ₁ = = х ₂ = =

Ответ: (1; –1).

Тест 5. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 6. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ ₁ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 7. При решении системы линейных уравнений по правилу Крамера определитель Δ ₂ имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 8. При решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными х ₁ и х ₂ по правилу Крамера получены значения: Δ = 4, Δ ₁ = 8, Δ ₂ = 2. Система имеет решение:

1) (8; 2);

2) (; 2);

3) (4; 8; 2);

4) (8; 2; 4);

5) (2; ).

Тест 9. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (2; –1);

2) правило Крамера неприменимо;

3) (1; 2);

4) (2; 1);

5) (1; 1).

Тест 10. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (2; –1);

2) правило Крамера неприменимо;

3) (1; 2);

4) (2; 1);

5) (1; 1).

Тест 11. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

1) (1; 1; 1);

2) (0; 1; 1);

3) (0; 0; 1);

4) (1; 0; 1);

5) правило Крамера неприменимо.

Две системы уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Тест 12. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид

Решением исходной системы является:

1) (0; 1);

2) (1; 2);

3) (2; 1);

4) (1; 1);

5) (–1; 0).

Тест 13. Ступенчатая система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, имеет вид

Решением исходной системы является:

1) (4; 9);

2) (4; 1);

3) (1; 4);

4) (9; 4);

5) (9; 1).

Линейным неравенством с двумя неизвестными х, у называется неравенство вида: ax + by + c £ 0 или ax + by + c £ 0, где a, b, c – действительные числа.

Решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется всякая упорядоченная пара действительных чисел (l₁; l₂), в результате подстановки которых вместо х, у соответственно неравен-
ство превращается в верное числовое неравенство.

С геометрической точки зрения пару действительных чисел (l₁; l₂), являющуюся решением линейного неравенства с двумя неизвестными х, у, можно рассматривать как координаты точки плоскости Оху.

Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у называется множество точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

Теорема. Областью решений линейного неравенства с двумя неизвестными х, у вида ax + by + c ³ 0 служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость Оху делит прямая ax + by + c = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является областью решений неравенства ax + by + c £ 0.

Пример 4. Построить область решений неравенства х + у + 2 ³ 0.

Решение

х + у + 2 ³ 0

1. На плоскости Оху построим прямую х + у + 2 = 0 по двум точкам (рисунок 19): если х = 0, то у = –2, имеем точку (0; –2); если х = 2, то
у = –4, имеем точку (2; –4).

2. Возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой х + у + 2 = 0.

Применяя теорему, имеем:

1) если координаты взятой точки удовлетворяют неравенству х + у +
+ 2 > 0, то искомой будет полуплоскость, содержащая взятую точку;

2) если координаты взятой точки не удовлетворяют неравенству
х + у + 2 > 0, то искомой будет полуплоскость, не содержащая взятую точку.

у

02 х

–2

–4 х + у + 2 = 0

Рисунок 19

Возьмем, например, точку (0; 0). Подставим ее координаты в неравенство х + у + 2 > 0. Получим 0 + 0 +2 > 0 или 2 > 0 – верное неравенство. Следовательно, искомой будет полуплоскость, содержащая точку (0; 0).

Теорема. Область решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными есть пересечение (общая часть) полуплоскостей, каждая из которых есть область решения соответствующего неравенства системы.

Тест 14. Решением неравенства является полуплоскость:

1) 2)

3) 4) 5)

Тест 15. Решением неравенства х ³ 0 является полуплоскость:

1) 2) 3)

4) 5)

Тест 16. Решением системы линейных неравенств является часть плоскости:

1) 2) 3)

4) 5)

Ответы на тестовые задания