Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Раздел IV. Алгебраические числа. Расширения полей
35. Простое расширение роля. Подкольцо P [ α ] поля P (α). Эпиморфизм кольца P [ x ] на P [ α ] Определение 35.1. Поле называется расширением поля , если . Определение 35.2. Пусть - расширение поля , . Простым расширением поля с помощью элемента называется подполе поля , являющееся пересечением всех подполей из , содержащих поле и элемент , и обозначается . Другими словами, - наименьшее подполе поля , содержащее и . Определение 35.3. Пусть - расширение поля , . Элемент называется алгебраическим элементом над полем , если является корнем многочлена положительной степени над полем . Определение 35.4. Пусть - расширение поля , . Элемент называется трансцендентным элементом над полем , если не является корнем ни одного многочлена положительной степени над полем . Определение 35.5. Простое расширение поля называется простым алгебраическим расширением (простым трансцендентным расширением), если - алгебраический (трансцендентный) элемент над полем . Множество всех элементов поля разбивается на два класса: - множество всех алгебраических элементов над полем , - множество всех трансцендентных элементов над полем . Замечание 35.1. Каждый элемент является алгебраическим над полем . В самом деле, является корнем многочлена . Определение 35.6. Пусть ℂ. Элемент называется алгебраическим числом, если является алгебраическим элементом над полем ℚ. Лемма 35.1. Пусть - расширение поля , , . Тогда является подкольцом поля . Доказательство. Применим критерий подкольца. 1. Покажем, что . В самом деле, так как , то . 2. Покажем, что . Пусть . Тогда такой, что . Пусть . Тогда . Так как по определению 35.2 и , то и . Поэтому правая часть равенства () принадлежит , а значит, и . Таким образом, . 3. Пусть . Покажем, что и . В самом деле, так как , то , где . Тогда . Поскольку - кольцо, то , и значит, . Аналогично доказывается, что . Из 1.-3. по критерию подкольца следует, что - подкольцо поля . Лемма доказана. Теорема 35.1. Пусть - расширение поля , , - отображение, заданное по правилу . Тогда отображение удовлетворяет следующим условиям: 1. ; 2. - гомоморфизм кольца на кольцо , т.е. - эпиморфизм; 3. ; 4. . Доказательство. Отметим, что по лемме 35.1 является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей (при имеем ) и без делителей нуля (так как не содержит делителей нуля). 1. Пусть . Тогда . Таким образом, . 2. : а) ; б) . Из а) и б) следует, что - гомоморфизм кольца в кольцо . Так как такой, что , т.е. такой, что , и значит, . Следовательно, - сюръективное отображение. Тем самым установлено, что - эпиморфизм кольца на кольцо . 3. Используя определение ядра гомоморфизма, имеем . 4. По основной теореме об эпиморфизме колец справедливо . Теорема доказана.
|