Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.






Теорема 37.1. Пусть α – алгебраический элемент над полем Р, degpα =n. Tогда любой элемент а Р(α) допускает единственное представление в виде а=с01α +с2α 2+…+сn-1α n-1, где сi Р, i= , т.е. простое алгебраическое расширение Р(α) имеет следующее строение Р(α)= { с01α +с2α 2+…+сn-1α n-1/ сi Р, i= }.

Доказательство. I. Существование. Пусть g(x) – минимальный многочлен элемента α. Тогда deg g(x)=n. Пусть а Р(α). Тогда а Р , а=f() для некоторого f(x) Р . Применим к многочленам f(x) и g(x) теорему о делении с остатком: q(x), r(x) Р : (1), где , т.е. deg r(x)< n, т.е. r(x)=d0 +d1x+d2x2+…+dn-1xn-1. Подставим в (1): .

Так как f()=а и g()=0, то а=r()=d0 +d1α +d2α 2+…+dn-1α n-12, где di Р, i= .

II. Единственность. Пусть а Р(α), а=с01α +…+сn-1α n-1 (2), а=d0+d1α +…+dn-1α n-1 (3). Вычтем из равенства (2) равенство (3). Получим 0=(с0-d0)+(c1-d1)α +…+(cn-1-dn-1n-1 (4). Допустим, что 0≤ i≤ n-1, такое, что сi-di≠ 0 h(x)=(c0-d0)+(c1-d1)x+…+(cn-1-dn-1)xn-1 ≠ 0. Из (4) α - корень h(x) degpα ≤ n-1. Получили противоречие. Следовательно, ci-di =0, i= ci=di, i= . Теорема доказана.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Пусть f(x), (x) P [ х ], (α)≠ 0, где α - алгебраический элемент над полем Р, (α Р). Так как f(α), (α) Р [ α ] =Р(α) и Р(α) – поле, то существует элемент f(α)· (α)-1 P(α). Элемент f(α)· (α)-1 запишем в виде дроби β = . Говорят, что дробь β = имеет алгебраическую иррациональность α в знаменателе.

Освободимся от α в знаменателе дроби β. Так как (α)≠ 0, то по теореме 32 f не делится g, где g(x) - минимальный многочлен элемента α. Так как g(x) - неприводимый многочлен над P и f не делится g, то (, g)=1 u(x), v(x) Р [ x ]: φ (x)· u(x)+g(x)· v(x)= 1 φ (α)· u(α)+g(α)· v(α)= 1 . Тогда β = = = f(α) . u(α).

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.