Модели, построенные с применением методов регрессионного анализа.

Случайные величины, соответствующие входным и выходным параметрам, могут представляться на разных уровнях, среди которых наиболее часто используются следующие четыре:

– задана статистическая выборка a_1..a_n, определяющая случайную величину набором значений, имеющих место в некоторой реализации случайного процесса;

– известен закон распределения случайной величины;

– заданы математическое ожидание и дисперсия;

– известно только математическое ожидание.

Статистические методы – это совокупность способов сбора, анализа и интерпретации данных о свойствах объекта или совокупности объектов с целью получения теоретических или практических выводов.

Сущность статистических методов заключается в следующем. На основе эмпирических представлений о свойствах исследуемого объекта и в соответствии с целью исследования определяется состав и тип входных параметров х₁, …х_n и перечень выходных характеристик y₁, …y_m. Затем проводится эксперимент, целью которого является получение достаточно большой выборки связей между входными параметрами и выходными характеристиками объектов. Естественно полученные в результате эксперимента данные являются случайными числами. На основании этой выборки выбирается тип статистической модели (математические выражения, структура) и рассчитываются параметры модели.

Математическая статистика предлагает обширный набор моделей и методов установления статистических закономерностей, присущих исследуемым объектам. Наиболее распространённым из них является регрессионный анализ.

1)

y=f(x, z, F) – Случайная модель в которой переход из одного состояния в другое происходит в случайные моменты времени и непредсказуемы

2)

y=f(x, z)+ε – детерминированный автомат, однозначно описываемый функцией, но имеются ошибки учитывающие влияние F «-» доказать адекватность можно только испытав в реальных условиях.

3)

y=f(x)+ε – учитывают только управляющие воздействия «-» недостаточно точна не учитывает внешние воздействия «+» можно испытать в лаборатории

Основная – вторая модель!

Модели объектов учитывают целенаправленные управляющие воздействия исполнительных устройств и контролируемые воздействия окружающей среды. Неконтролируемые воздействия окружающей среды приводят к появлению ошибок (в модели указываются в виде шума e). Уравнение, связывающее входные переменные с выходными, выглядит следующим образом:

y=f(x₁, …, x_k, b_1, …, b_k)+e (1),

где x_i–i -тая входная переменная,

b_i – i- тый параметр регрессионного уравнения, i=1..k.

Если функция f(x₁, …, x_k, b_1, …, b_k) линейна относительно искомых параметров b_1, …, b_k, она может быть представлена в следующем виде:

f(x₁, …x_k, b₁, …b_k)= φ _i (x), (2)

где j _I(x) – некоторая заданная функция от х_i, i=1..k.

Для удобства обычно принимают j₁=1.

Чаще всего регрессионное уравнение представляют в виде степенного полинома конечной степени:

Введём фиктивные переменные: х₁= 1, х²_k+1=x_k+1, …, x²_k=x_2k-1, x₂x₃=x_2k, …

В этом случае уравнение регрессии будет иметь следующий вид: