Кинетическое уравнение Эйлера

Найдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат.

Пример (без доказательства), что

Эти равнения называются кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекции угловой скорости на подвижные оси координат при сферическом движении.

(рис 1)

Билет №19 (Сложное движение точки. Теорема Сложения скоростей. Теорема Кориолиса)

Абсолютной скоростью точки называют скорость точки относительно неподвижной системы координат.

Относительной скоростью называют скорость точки относительно неподвижной системы координат.

Переносной скоростью точки называется скорость относительно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает с рассматриваемой тоской.

– переносная скорость

– относительная скорость

Билет № 20 (Аксиомы динамики. Дифференциальные уравнения движения. Две основные задачи динамики для материальной точки)

Второй закон Ньютона, определяемый формулой , позволяет сформулировать две основные задачи.

Первая: Даны масса точки траектория движения . Найти силу , которая вызывает это движение.

Если требуется определить силу как функцию времени, то эта задача решается двукратным дифференцированием

Вторая: Даны масса точки и сила, действующая на точку, как функция положения скорости и быть может времени: . Определи траекторию движения точки.

Для решения этой задачи необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений:

;

;

;

систему можно перезаписать в систему Коши:

; ; ;

;

;

;

Для определения произвольных постоянных необходимо задать шесть начальных условий:

; ; ;

; ; ;

;

;

;

;

;

;

Билет №21 (Кинетическая энергия системы точек. Теорема Кенига. Кинетическая энергия твердого тела. (Поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси, плоское)

Кинетическая энергия системы n материальных точек равна сумме кинетических энергий всех точек:

Теорема Кенига: Кинетическая энергия системы материальных точек в ее абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс системы, и кинетической энергии системы в её движении относительно центра масс.

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при поступательном движении:

; по определению кинетической энергии механической системы

Но при поступательном движении все точки тела имеют равные скорости ,

поэтому ; ;

При вращении вокруг неподвижной оси:

Для любой точки тела ; поэтому

; ;

где – осевой момент инерции тела

(Рис 1)

Билет №22 (Мощность силы. Мощность пары сил. Возможные и действительные перемещения. Элементарная работа сил.)

Элементарное перемещение точки называется бесконечно малое перемещение, равное дифференциалу радиуса вектора точки.

Элементарной работы силы на перемещение называется скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки приложения силы.

Мощностью силы называется скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки приложения силы:

; или ;

;

;

Мощность системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме скалярных произведений главного вектора на скорость полюса О и главного момента сил относительно полюса О на вектор угловой скорости твердого тела.

Система сил приводится к паре сил:

Т.к. система сил приводится к паре, выражение для мощности принимает следующий вид: ; L-момент пары сил

Возможное перемещение – бесконечно малое воображаемое перемещение точки, допускаемое связями в данный момент времени

; - проекции вектора на оси координат

Билет №23 (Силовое поле. Потенциальное силовое поле)

Силовым полем называется область, в каждую точку которой, на помещенную в неё материальную точку действует сила однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени:

(РИС 1)

;

;

;

Силовое поле не стационарное, если поле явно зависит от времени и стационарным, если не зависит от времени t явно.

Стационарное поле называется потенциальным, когда существует функция U=U(x, y, z), зависящая только от координат точки и такая что проекция силы на декартовые оси координат равны:

; ; ;

Работа силы на замкнутой траектории равна нулю:

Билет №24 (Классификация сил. Активные и пассивные силы. Потенциальные силы. Силы сопротивления)

внешние внутренние

Потенциальные силы - если в указанной точке существует функция U=U(x, y, z)

; ; ;

Активные силы – создает или способны создать движение твердого тела

(Например: Сила Веса)

Пассивные силы - не создающие движения, но ограничивающие перемещение твердого тела, препятствующие перемещениям.

Силы сопротивления – появляются, если к телу приложить некоторую силу.

(Сила трения покоя)

Билет № 25 (Классификация связей голомные и неголомные связи. Идеальные связи. Примеры таких связей.)

Связями называют ограничение, накладываемые на координаты и скорости точек механической системы, которые выполняются при любых действующих на систему силах.

Для системы с идеальными связями в любой момент времени сумма элементарных работ активных и даламберовых сил инерции равны нулю.

;

– активная сила, приложенная к точке с массой

;

Связи наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма мощностей сил реакций этих связей равна нулю:

;

Для того, чтобы механической системы с идеальными стационарными связями находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы суммы элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого состояния равновесия равнялось нулю.

Связь называется голомной, если она выражается неинтегрируемым дифференциальным уравнением для координат и скорости точек механической системы.

;

Связь называется неголомной, если она выражается неинтегрируемых дифферениальным уравнением для координат и скоростей точек механической системы.

Билет №26 (Общее уравнение динамики. Принцип возможных перемещений (скоростей))

Для системы с идеальными связями в любой момент времени сумма элементарных работ активных сил и даламберовских сил инерции равняется нулю:

;

- активная сила, приложенная к точке с массой

;

Принцип Даламбера-Логранжа (общее уравнение динамики)

;

(1) и (2) – называются общими уравнениями динамики

В случае равновесия механической системы ускорение всех точек системы будет равна нулю.

;

;

Уравнение (3) и (4) математическое выражение для описания возможных перемещений.

Для того чтобы механическая система с идеальными стационарными связями находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого состояния равновесия равнялась нулю.

Билет №27 (Геометрия масс. Центр масс механической системы. Момент инерции твердого тела: осевые, центростремительные. Примеры вычисления моментов инерции относительно оси для стержня, кольца, диска.)

Центр масс механической системы называется точка, радиус-вектор которой определяется следующим выражением:

; где ;

Цента масс механической системы движения, как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на точки системы:

; где - скорость центра масс механической системы;

– главный вектор внешних сил.

Осевые моменты инерции:

Для центростремительных: ; ;

(Рис1) и (Рис2)

Кольцо:

Шар:

Цилиндр:

Момент инерции – мера инерции во вращательном движении вокруг оси, подобно тому как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Билет № 28 (Обобщенные координаты, обобщенные силы. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах)

Независимые параметры, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Число обобщенных координат является числом степеней свобод.

Закон изменения обобщенных координат:

; ;.... ;

Обобщённая сила – коэффициент перед вариацией обобщенной координаты в выражении для суммы элементарных работ активных сил.

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю.

Билет №29 (Тождество Лагранжа. Уравнения второго рода Лагранжа)

Найдем скорость точек с массой . Для этого продифференцируем по времени уравнение:

где

;

; где – обобщенная скорость

;

;

Тождества Лагранжа:

; ;

Уравнение Лагранжа второго рода:

; ;

;

Билет №30 (Потенциальная энергия. Уравнение Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил)

Если все силы потенциальны, то обобщенные силы системы выражения через потенциальную энергию системы

как ; а уравнение Лагранжа

;

;

;

Так описывают состояние не только механической системы но и системы иной физической природы, например гравитационное поле, электромагнитного и электростатического

Потенциальная энергия – способность материальной точки совершать работу за счет своего нахождения в поле действия консервативных сил.

Билет №31(Циклические координаты. Первый интеграл)

Первым интегралом называется функция, которая при подстановке в неё любого решения q(t), p(t) сохранять как функция t свое значение.

Координата q называется циклической, если функция Гамильтона от неё не зависит неявно т.е.

Циклической координатой соответствует первый интеграл

– импульс

Чем больше циклических координат, тем больше можем понизить порядок системы.

Билет №32 (Теорема об изменении количества движения)

Производная по времени от вектора количество движения системы материальных точек равна главному вектору внешних сил, действующих на точки системы

(в) (в) (в) (в)

в- внешних
Для каждой точки материальной системы запишем Второй Закон Ньютона:

;

;

;

;

; ; поэтому

;

Следствие: если проекция главного вектора внешних сил системы материальных точек на какую-либо ось равна нулю, то проекция вектора количества движения на эту ось остается постоянной.

Билет № 33 (Теорема о движении центра масс)

Центр масс движется, как материальная точка с массой, равная массе всей системы, к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на точки системы:

; m- масса всей системы

- скорость центра масс механической системы

- главный вектор внешних сил

Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, на какую либо ось равную нулю, то траектория скорости центра масс системы на эту ось остается постоянной.

Билет №34 (Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки)

Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точки равен произведению тензор инерции на угловую скорость тела.

;

;

;