Використання крутильних коливань для визначення моменту інерції

Визначення моменту інерції неоднорідних тіл і тіл неправильної форми за допомогою інтегрування є складною задачею. У таких випадках моменти інерції визначають експериментально, зокрема, використовуючи метод крутильних коливань.

Суть методу крутильних коливань полягає в такому:

Якщо взяти будь-яке тіло, що закріплене на сталевому стрижні (дротині), і повернути його на деякий кут відносно осі стрижня, в ньому, внаслідок пружинної деформації кручення, виникне внутрішній момент сил

, (6.9)

який протидіє закручуючому моменту і протилежний йому за напрямком. Тут - модуль кручення стрижня. Якщо тіло відпустити, то під дією цього внутрішнього моменту сил тіло почне здійснювати крутильні коливання для яких є справедливим закон динаміки обертального руху

,

де – кутове прискорення, .

В нашому випадку диференціальне рівняння крутильних коливань матиме вигляд:

або

, . (6.10)

Розв’язком рівняння (6.10) є функція

, (6.11)

де - циклічна частота крутильних коливань.

Період крутильних коливань

. (6.12)

Із формули (6.12) видно, що, при відомому модулі кручення стрижня та виміряному експериментально періоді коливань , можна обчислити момент інерції тіла.

Для вимірювання момента інерції тіл використаємо крутильний маятник FРМ-05 з відомим значенням модуля кручення . Маятник складається з механічної частини (закріпленої на дротинах рамки), яка може здійснювати коливання, електромагніту, фотоелектричного датчика, універсального мілісекундоміра, який вимірює кількість коливань і час коливань .

Конструкція рамки дозволяє закріплювати в ній досліджувані тіла. Період коливань рамки з тілом, враховуючи (6.12)

, (6.13)

де – момент інерції рамки; – момент інерції досліджуваного тіла, яке досліджується.

Момент інерції рамки маятника невідомий, тому не можна безпосередньо скористатись формулою (6.13) для обчислення моменту інерції досліджу- вального тіла.

Задача розв’язується, якщо спочатку визначити період коливань самої рамки маятника

, (6.14)

а потім визначити період коливань рамки із зафіксованим в ній тілом:

(6.15)

Із рівнянь (6.14) і (6.15) знаходимо або , звідси одержимо формулу для обчислення моменту інерції тіл:

(6.16)