Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Необходимые математические сведения из линейной алгебры, теории систем линейных уравнений, выпуклого анализа






    (эта версия темы №2 не полная, см. укр. вариант)

    Векторы

    В дальнейшем будем считать, что всегда является вектором – столбцом

    - j -ый элемент (j- ая компонента) вектора x.

    Далее в зависимости от контекста будем называть либо точкой, либо вектором.

    Вектор – строку будем обозначать так:

    Скалярное произведение векторов запишем как (д.б. одной размерности)

    Def Множество векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда система (ноль – столбец) имеет только тривиальное (нулевое) решение относительно

    Матрицы

     

    Рассмотрим матрицу A размерности m´ n.

    Обозначим через

    – вектор-столбец, элементы которого являются элементами j -го столбца A, .

    - вектор – столбец с элементами i - ой строки A, .

     

    С учетом обозначений и можно записать =

    def 1. Рангом матрицы А по столбцам называется наибольшее число линейно независимых векторов среди n m -мерных столбцов .

    При этом максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк. Значит аналогично определению 1 определяется ранг матрицы по строкам.

    def 2. Рангом матрицы А по минорам называется наибольший порядок минора среди миноров, отличных от нуля (минор – это определитель подматрицы).

    Для произвольной матрицы А ранг по столбцам, ранг по строкам и ранг по минорам равны.

     

    def. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если она квадратная (m = n) и полного ранга (rang A = n). Только невырожденная матрица имеет обратную.

     

    Системы линейных уравнений

    Система m линейных уравнений с n переменными может быть записана в виде

    или в виде матричного уравнения

    Ax=b (1)

    Единственное решение системы существует в том случае, если m = n и А – неособенная.

    Тогда

    Используя наше обозначение для j -го столбца А, матричное уравнение (1) можно переписать в виде

    Таким образом решение системы уравнений можно свести к отысканию линейной комбинации векторов , которая равна вектору b. Коэффициенты этой линейной комбинации и есть элементы x1, x2, ….., xn вектора x. Если А – неособенная матрица, то векторы линейно-независимы, а значит существует одна и только одна такая комбинация.

    Выпуклые множества

    Пусть x1, x2, ….., x k – произвольные точки из .

    Выпуклой линейной комбинацией (ВЛК) этих точек называется сумма вида:

    ,

    где – произвольные неотрицательные числа, такие, что

    .

    Теорема: Пусть Х – выпуклое множество, x1, x2, ….., x k – произвольные точки из Х. Тогда множество Х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.

    Доказательство:

    Доказательство проведем с помощью метода математической индукции (по числу точек k).

    ü Ситуация, когда k = 1 тривиальна.

    ü При k = 2 утверждение теоремы совпадает с определением выпуклого множества.

    ü Пусть любая выпуклая линейная комбинация k – 1 точек множества Х принадлежит данному множеству.

    ü Рассмотрим k точек x1, x2, ….., xk -1, x k.

    Их линейная выпуклая комбинация:

    Если , то при и Þ теорема справедлива.

    Пусть . Тогда .

    Числа , - неотрицательны и их сумма равна единице:

    Следовательно, выражение – выпуклая линейная комбинация точек x1, x2,..., x k -1 множества Х. По предположению индукции .

    В таком случае точка является выпуклой линейной комбинацией двух точек из Х и, следовательно, .







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.