Случайные процессы в линейных стационарных системах

В предыдущих разделах курса анализ систем управления производился в предположении, что входной сигнал является заданной функцией времени или частоты (детерминированный сигнал). Однако в реальных системах помимо полезного g(t) сигнала на вход системы либо на промежуточные элементы её воздействуют, как правило, дополнительные сигналы в виде помех x (t), которые имеют случайный характер. Да и само задающее воздействие в общем случае тоже можно считать случайной функцией. Математический аппарат исследования прохождения подобных сигналов через звенья и системы автоматического управления основывается на теории вероятностей и теории случайных функций (процессов).

Случайной функцией x (t) называют семейство случайных величин, зависящих от аргумента t, пробегающих произвольное множество. Если аргумент интерпретировать как время, то вместо термина «случайная функция» употребляется термин «случайный процесс» (иногда говорят: вероятностный или стохастический процесс).

Действительную функцию при фиксированном называют реализацией или траекторией случайного процесса. Если фиксировать , то является обычной случайной величиной, где - элемент пространства событий.

Случайные функции описываются вероятностными характеристиками:

- МО - математическим ожиданием;

- - дисперсией;

- - корреляционной функцией;

- - спектральной плоскостью.

Будем рассматривать стационарные случайные процессы. Случайная функция называется стационарной, если все её вероятные характеристики не зависят от времени.

Кроме того, будем полагать, что стационарные случайные функции обладают эргодическим свойством. Случайная функция обладает эргодическим свойством в том случае, если вероятностные характеристики, полученные осреднением во времени одной реализации (на достаточно большом интервале наблюдения), приближённо совпадают с характеристиками, полученными осреднением по множеству реализаций (при фиксированном времени).

Основные вероятностные характеристики стационарной случайной функции x(t), обладающей эргодическими свойствами, определяются следующими выражениями.

- Математическое ожидание или среднее значение:

.

- Дисперсия или средний квадрат функции:

, (4.1)

где - центрированная случайная функция.

Далее будем рассматривать только центрированные случайные функции, поэтому для удобства индекс «0» в обозначении этих функций опустим.

- Корреляционная функция, характеризующая степень связи между значениями случайной функции в моменты времени и :

(4.2)

Если речь идёт об для одной функции, то такая функция называется автокорреляционной.

Из сопоставления (4.1) и (4.2) вытекает, что

. (4.3)

- Прямое преобразование Фурье корреляционной функции даёт спектральную плотность случайной функции

. (4.4)

Спектральная плотность характеризует распределение по частотам мощности случайной функции .

Если известна то, применяя к ней обратное преобразование Фурье, получим:

(4.5)

Сравнение (4.3) и (4.5) приводит к соотношению

. (4.6)

Качество работы системы автоматического управления при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гаусовским (нормальным), поэтому для расчёта составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или её спектральную плотность.

Пусть на вход системы автоматического управления подаётся воздействие вида (рис. 4.1): , где – помеха (случайная функция),

– случайное задающее воздействие.

Рис. 4.1. Структурная схема замкнутой системы автоматического управления

Определим ошибку системы при отслеживании задающего воздействия

; ;

или . (4.7)

Таким образом., (4.8)

Поскольку мы остановились на стационарных эргодических воздействиях, то составляющие входного сигнала можно записать в виде:

, , полагаем , тогда .

определяет динамическую ошибку системы, её анализ мы сделали ранее (пп. 3.2.3).

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки.

[см (4.2) и (4.3)], где - автокорреляционная функция.

Применяя теорему свертки для (4.7) и учитывая, что передаточная функция есть не что иное, как изображение весовой функции по Лапласу, имеем:

(4.9)

где w – импульсная переходная функция (весовая функция) системы управления.

Согласно (4.2)

(4.10)

Подставив (4.9) в (4.10), после преобразований найдём автокорреляционную функцию ошибки:

. (4.11)

Подставив в (4.11) , получим дисперсию ошибки системы:

, (4.12)

где - автокорреляционная функция задающего воздействия;

- автокорреляционная функция помехи;

- взаимные корреляционные функции между задающим воздействием и помехой.

Первое слагаемое в (4.12) определяет дисперсию ошибки воспроизведения случайной составляющей задающего воздействия g(t); второе – дисперсию ошибки системы управления, вызванную воздействием помехи x(t), третье и четвёртое – дисперсии ошибок, обусловленных корреляцией сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Дисперсию ошибки можно также вычислить, если известна спектральная плотность ошибки Подставив выражение (4.11) в (4.4), после соответствующих преобразований получим:

. (4.13)

Воспользовавшись (4.5) и (4.13), в соответствии с (4.3) можем записать:

(4.14)

Если задающее воздействие и помеха не корректированы, то ; и выражения (4.11)…(4.14) упрощаются.

Величину (4.15)

называют суммарной средней квадратической ошибкой системы автоматического управления.

Вычисление средней квадратичной ошибки через её автокорреляционную функцию (4.11) связано с некоторыми трудностями, одна из которых заключается в нахождении w, а другая - с вычислением (4.12). Поэтому на практике рассчитывают через и по формуле (4.14), вычисление интеграла в которой производится по методике, приведённой в [2, приложение 2], [5, приложения II-VI].

В инженерной практике также находится с помощью графоаналитического метода. Для этого строят графики, соответствующие отдельным слагаемым выражения (4.13). Дисперсия ошибки для некоррелированных сигнала и помехи определяется формулой , где и - площади под графиками спектральных плотностей (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Пояснение графического метода определения дисперсии ошибки

На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания системы постоянна.

При этом, учитывая (4.14), .

Величину (4.16)

называют эффективной полосой пропускания системы управления. Из рис. 4.3 видно, что - это основание прямоугольника, площадь которого равна площади, ограниченной графиком .

Рис. 4.3. К определению

Тогда . (4.17)

В литературе, например [2, с. 93], приведены таблицы с формулами вычисления систем автоматического управления, наиболее часто встречающимися в практической деятельности. Часть из них приведена в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Вопросы для самопроверки

1. Известна спектральная плотность сигнала S(ω), определить дисперсию.

2. Известна автокорреляционная функция R(τ), определить дисперсию.

3. Записать общее выражение дисперсии ошибки системы управления, на которую воздействуют коррелированные задающее воздействие g(t) и помеха x(t).

4. Записать выражение суммарной средней квадратической ошибки системы управления.

5. Записать выражение для определения эффективной полосы пропускания системы управления.

6. Передаточная функция разомкнутой системы управления равна: , спектральная плотность помехи: S(ω) = 10. Определить дисперсию на выходе системы управления.