Оптимизация параметров системы при заданной структуре системы управления

Задачу оптимизации параметров системы при заданной структуре рассмотрим на примере её оптимизации по критерию минимума суммарной средней квадратической ошибки [2]. При решении данной задачи полагаются известными: структурная схема системы управления, вероятностные характеристики (например, спектральные плотности) задающего воздействия g(t) и помехи f(t). Необходимо определить оптимальные значения параметров системы (коэффициент усиления разомкнутой системы, постоянные времени отдельных звеньев), при которых суммарная средняя квадратическая ошибка минимальна.

Так как структурная схема системы управления известна, то, пользуясь формулами (4.15) и (4.14), нетрудно найти выражение для суммарной среднеквадратичной ошибки как функцию параметров системы

(5.1)

где - параметры системы.

Для расчёта оптимальных значений параметров нужно исследовать на минимум функцию (5.1). Для чего, как известно, нужно решить следующую систему уравнений:

, (5.2)

и исследовать её на минимум по знаку второй производной.

Обычно при синтезе оптимальных параметров систем управления требуется вычислить оптимальные значения только настраиваемых параметров (коэффициент усиления, некоторые постоянные времени) системы, число которых невелико, что облегчает задачу оптимизации. В качестве примера и для пояснения физического смысла оптимального параметра решим следующую задачу [2]. Найти оптимальное значение коэффициента усиления в системе управления, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии равна:

,

если на систему действуют: задающее воздействие g(t) и помеха f(t) со спектральными плотностями, равными соответственно

; .

С учетом того, что по условию задачи математические ожидания задающего воздействия g₀(t) и помехи f₀(t) равны нулю, на основании (4.14) можем записать:

,

где - частотная характеристика системы по ошибке;

- частотная характеристика формирующего фильтра сигнала;

- частотная характеристика замкнутой системы.

Для рассматриваемой задачи условие (5.2) имеет вид:

.

Откуда оптимальный коэффициент усиления разомкнутой системы управления равен:

.

Наличие оптимального значения коэффициента разомкнутого контура управления вытекает из следующих соображений. Коэффициент усиления разомкнутой системы управления определяет динамическую ошибку системы (пп. 3.2.3), т.е. ошибку по задающему воздействию [см. (4.14)]. Чем меньше коэффициент усиления системы, тем меньше её полоса пропускания, тем больше ошибка системы по задающему воздействию, имеющему случайный характер. При этом ошибка по помехе в связи с уменьшением полосы пропускания системы управления уменьшается. И наоборот: чем больше коэффициент усиления разомкнутой системы, тем шире её полоса пропускания, тем меньше ошибка при обработке случайного задающего воздействия и тем больше ошибка, вызванная влиянием помехи .

Приведенные выше рассуждения иллюстрируются рис. 5.1. Поскольку , то при данном положении вещей она должна иметь минимум при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы (рис. 5.1).

Рис. 5.1. К вопросу оптимизации параметров системы