Загальні відомості про стійкість автоматичних систем

Тема 2.2. Стійкість автоматичних систем управління

План

1. Загальні відомості про стійкість автоматичних систем.

2. Алгебраїчні критерії стійкості.

3. Частотні критерії стійкості.

Література

Колесов Л.В. с.206…214, Мартиненко І.І, с.117…124, Бородин И.Ф. с.226…240.

Загальні відомості про стійкість автоматичних систем

В любій автоматичній системі регулювання САР під впливом зовнішніх дій (збурення) виникає перехідний процес зміни вихідної величини y(t), який залежить як від властивостей самої системи, так і від виду дії. Поведінку системи у перехідному процесі можна представити двома складовими:

Перша - вільний рух системи y_c(t), тобто рух системи, виведеної із стану рівноваги і представленій самій собі;

Друга - вимушений рух системи y_в(t), обумовлений зовнішньою дією і властивостями системи.

y(t)=y_c(t)+y_B(t)

де y_c(t) - в загальному випадку інтеграл однорідного диференціального рівняння, яке не залежить від вхідної величини х (характеризує вільний рух системи, тобто рух системи, виведеної із стану рівноваги);

y_B(t) - частковий інтеграл неоднорідного диференціального рівняння, який залежить від вхідної величини х (характеризує вимушений рух системи, що виник внаслідок дії збурення.

Одним з основних показників, що характеризують поведінку САР в перехідному процесі, є її стійкість.

Автоматична система є стійкою, якщо вона повертається до усталеного режиму після припинення дії збурення, яке вивело її з цього стану.

Нестійка система не повертається до стану рівноваги, з якого вона вийшла з тих або інших причин. Вихідна величина такої системи безперервно збільшується або здійснює недопустимо великі коливання. Звичайно нестійкі автоматичні системи непридатні для практичного використання. Російський вчений О.М. Ляпунов запропонував оцінювати стійкість системи на основі аналізу рівняння динаміки, що описує систему.

Прикладом стійкості можна розглядати кульку, яка знаходиться всередині труби. При любому відхиленні кульки від встановленого напряму руху вона після декількох коливань повертається на початкову пряму. Якщо кулька здійснює рух по жолобу, то при малих відхиленнях кульки, не виходячи за край жолоба, її рух буде стійким, а при великих відхиленнях – нестійким, це приклад системи стійкої “у малому” і нестійкої “у великому”. Рух кульки по випуклій циліндричній поверхні завжди буде нестійким, по скільки найменше бокове зусилля визве відхилення кульки від початкового напряму. На площині кулька після зняття бокових зусиль буде рухатися прямолінійно у новому напрямі. Такий випадок руху кульки прийнято називати нейтральним, а САР, яка має аналогічні властивості, називається нейтральною системою.

Для нормальної роботи потрібно, щоб система знаходилась у стійкому режимі. Але на практиці часто зустрічаються системи, які по своїм динамічним властивостям нестійкі.

Для стійкості системи необхідно, щоб вільна складова з ростом часу від початку перехідного процесу прямувала до нуля: lim y_c(t) —» 0 при . Звідси, характер вільного руху системи визначає степінь її стійкості. При аналітичному дослідженні динамічних властивостей системи регулювання необхідно в якості математичного описання скласти диференціальне рівняння і розв’язати його. Однак розв’язувати диференціальні рівняння навіть для лінійних систем важко. Тому про стійкість таких систем судять по визначеним ознакам обходячись без безпосереднього рішення диференціальних рівнянь. Ці ознаки, які одержали назву критеріїв стійкості, дозволяють не розв’язуючи диференціального рівняння системи, встановити, чи стійка вона, а крім того, виявити характер впливу того чи іншого параметру і структури системи на її стійкість.. Розрізняють дві групи критерій:

1) алгебраїчні;

2) частотні.