Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!
Задача нахождения оценок параметров распределения
|
|
Дана выборка объема 
: 
Предполагается некоторый теоретический закон распределения СВ X с функцией плотности распределения вида: 
, где 
– неизвестные параметры распределения. Определить значения вектора оценок параметров распределения.
Метод моментов
Идея метода: определенное количество выборочных моментов начальных и/или центральных (
и/или 
) приравниваются к соответствующим теоретическим аналогам, (
и/или ), полученным для предполагаемого теоретического закона распределения.
Алгоритм
1. Определяем k теоретических моментов для предполагаемого теоретического закона распределения:
Количество теоретических моментов равно количеству параметров распределения.
2. По выборке СВ Х определяем 
выборочных моментов и приравниваем к соответствующим теоретическим аналогам.
3. Получим систему из уравнений с неизвестными:
Замечание: если есть возможность используют 
и 
.
Пример: найти методом моментов по выборке оценки параметров а и b равномерного закона распределения.
Решение:
Теоретические значения первого начального и второго центрального моментов распределения равномерного закона выражаются формулами:
; 
.
Выборочные моменты:
; 
.
Уравнения метода моментов
.
Метод максимального правдоподобия
Идея метода: строится функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки: 
Функция правдоподобия
Для непрерывных СВ:
.
Для дискретных СВ:
.
Согласно методу максимального правдоподобия в качестве оценки – неизвестного вектора 
, принимается такое значение этого вектора, которое максимизирует функцию L, то есть нужно найти , чтобы L – max или ln L – max.
Для того чтобы найти значение максимума функции многих переменных, нужно записать необходимое условие экстремума:
или
.
Находим значения параметров: .
Оценки параметров, полученные по этому методу, называют МП-оценками или оценками максимального правдоподобия.
Пример: найти методом максимального правдоподобия оценку параметра экспоненциального закона распределения.
Дано: 
Функция плотности распределения экспоненты равна:
.
Решение:
Запишем функцию правдоподобия:
.
Прологарифмируем ее:
.
Необходимое условие экстремума:
.
Критерии согласия
Критерии согласия решают вопрос о согласованности теоретического и эмпирического (статистического) распределения.
Пусть полученное статистическое распределение выровнено с помощью некоторой предполагаемой теоретической кривой f(x).
Возникает вопрос: расхождения между предполагаемым теоретическим и статистическим распределением связаны со случайными факторами (ограниченное число наблюдений, n) или они существенны и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает статистическое распределение.
Ответ на этот вопрос дают критерии согласия:
- критерий Пирсона (“хи”-квадрат);
- критерий Колмогорова.
Критерий Пирсона (
-квадрат)
Алгоритм применения критерия
1. Определить меру расхождения между теоретическими (
) и эмпирическими частотами (
):
,
где 
,
– функция распределения предполагаемого теоретического закона распределения.
2. Для выбранного уровня значимости 
по таблице -распределения, находят критическое значение меры расхождения:
,
где 
– число степеней свободы: 
k – количество интервалов в группировке,
s – число налагаемых связей (условий) на частости:
,
где 
– количество параметров предполагаемого теоретического закона распределения, тогда: 
3. Фактически наблюдаемое значение: 
сравнивается с критическим значением 
:
при 
– гипотеза отвергается (противоречит опытным данным),
при 
– гипотеза принимается (не противоречит опытным данным).
Статистика 
– имеет распределение “хи”-квадрат только при 
следовательно, необходимо, чтобы в каждой интервальной группировке было достаточное число наблюдений (
), в противном случае соседние интервалы объединяют или заново стоят группировку.
Критерий Колмогорова
1. Строится эмпирическая функция распределения F*(x) и предполагаемая теоретическая функция F(x).
2. Определяется мера расхождения между теоретическими и эмпирическими значениями функции распределения:
.
Задается уровень значимости, вычисляем критическое значение:
3. Если 
, гипотеза отвергается, если 
, гипотеза не противоречит опытным данным, то есть СВ Х имеет предполагаемый теоретический закон распределения, не противоречащий имеющимся выборочным данным.
Критические значения для критерия Колмогорова
|
|