Гистограмма

Гистограмма – это столбиковая диаграмма, которая строится только для интервальных рядов (эмпирический аналог функции плотности).

По оси OX откладывается интервальный ряд, по оси OY: для гистограммы частот– величину , для гистограммы частостей – величину , для того, чтобы получить действительно эмпирический аналог функции плотности распределения – величину : . При последнем варианте для гистограммы также выполняется свойство нормирования .

3. Статистическая, эмпирическая (стохастическая) функция распределения

Статистической функцией распределения – называется функция

,

где – количество элементов в выборке, меньших x, – объем выборки.

Статистическая функция распределения в данной точке x равняется накопленной относительной частоте или статистической вероятности того, что CВ принимает значение меньшее x:

По оси ОУ: относительные частоты накопленным порядком или накопленные статистические вероятности.

Задание к лабораторной работе

По заданному варианту задания выбрать статистические данные для первичной обработки. Провести статистический анализ:

1) построить вариационный и частотно-вариационный ряд;

2) найти размах варьирования;

3) определить количество групп по формуле Стерджесса;

4) построить группировку и интервальный ряд;

5) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, эмпирической функции распределения.

Варианты заданий

№ 1. Время решения контрольной задачи учениками 4-го класса (мин):

38 60 41 51 33 42 45 21 53 60 68 52 47 46 49

49 14 57 54 59 11 47 28 48 58 32 42 58 61 90

№ 2. Продолжительность работы электронных ламп одного типа в часах:

13.4 17.7 15.2 15.1 13.0 21.9 14.0 17.9 15.1 16.5 16.6

14.2 16.3 14.6 11.7 16.4 15.1 17.6 14.1 18.8 11.6 13.9

18.0 12.4 17.2 14.5 16.3 13.7 15.5 16.2 8.4 14.7 13.4

№ 3. Измерение емкости у 80 полевых транзисторов дали следующие результаты:

1.9 3.1 1.3 0.7 3.2 1.1 2.9 2.7 2.7 4.0

1.7 3.2 0.9 0.8 3.1 1.2 2.6 1.9 2.3 3.2

4.1 1.3 2.4 4.5 2.3 0.9 1.4 1.6 2.2 3.1

1.5 1.1 2.3 4.3 2.1 0.7 1.2 1.5 1.8 2.9

№ 4. Время восстановления диодов из одной партии (в наносекундах):

69 73 70 68 61 73 70 72 67 70 66 70 71

76 68 71 71 68 70 64 65 72 70 70 69 67

66 70 77 69 71 74 72 72 72 68 70 67 72

№ 5. Время реакции (в секундах):

8.5 7.1 6.7 6.2 2.9 4.4 6.0 5.8 5.4 8.2 6.9 6.5

3.8 6.0 6.0 5.6 5.3 7.7 6.8 6.5 6.1 4.2 4.7 5.6

5.3 7.4 6.7 6.4 6.1 4.5 6.0 5.8 5.8 5.6 6.1 5.4

№ 6. Затраты на питание 66 семей (США), каждая из которых состоит из 4х человек (в долларах):

48 44 40 51 44 18 46 57 57 34 38 47 48 52

39 41 39 38 43 29 45 54 38 28 48 28 47 52

№ 7, 8. Автомобильная компания закупила у 2-х сталелитейных фирм металлические заготовки для производства обойм подшипников. Масса заготовки имеет решающее значение при производстве подшипниковых обойм. Приведены 2 выборки масс стальных заготовок (в г).

Фирма А:

41.6 41.7 41.8 42.2 41.2 40.9 41.3 41.5 41.7

41.8 41.4 41.1 41.1 41.5 42.0 42.3 41.6 41.5

41.3 41.4 41.3 41.2 41.1 41.6 41.9 41.2 42.0

Фирма В:

40.5 41.1 40.9 41.4 41.7 41.8 41.1 40.7 41.2

41.4 40.9 41.0 41.4 41.3 41.5 41.6 42.2 41.2

41.1 40.9 40.7 40.6 41.3 41.6 40.7 40.9 41.2

№ 9, 10, 11. Данные представляют собой изменения предела прочности на разрыв, выраженные в тысячах фунтов на квадратный дюйм для стального листа. Сталь закупается у 3-х сталелитейных фирм:

Фирма А:

51.8 51.7 51.8 52.2 51.2 50.9 51.3 51.5 51.7 51.8

51.4 51.1 51.4 51.5 51.6 51.7 51.5 52.0 52.3 51.6

51.5 51.3 51.4 51.3 51.2 51.1 51.6 51.9 51.2 52.0

Фирма В:

50.5 51.1 50.9 51.4 51.7 51.8 51.1 50.7 51.2 51.4

50.9 51.0 51.4 51.3 51.5 51.6 52.2 51.2 51.0 50.9

50.7 50.6 51.3 51.6 50.7 50.9 51.2 51.7 51.8 51.3

Фирма С:

51.0 51.3 51.4 51.3 51.7 51.9 51.5 51.3 51.2 51.0

51.0 51.0 51.4 51.4 51.6 51.7 52.1 51.8 51.8 51.4

51.5 51.2 51.0 51.5 51.5 51.4 51.3 51.4 51.4 51.5

№ 12. Потребление (на душу населения) ацетатного и искусственного шелка в 20 регионах:

8.90 8.26 7.74 7.66 7.11 8.58 7.13 6.87

6.47 7.07 5.84 6.14 6.77 7.60 7.89 7.97

8.08 7.53 8.39 7.95 6.45 6.60 6.00 5.91

№ 13. Потребление (на душу населения) шерсти в 20 регионах:

1.86 1.99 4.18 3.14 2.98 1.88 1.57 1.6

1.64 3.10 2.36 2.50 2.62 1.54 2.15 1.7

1.90 2.46 2.27 2.24 2.30 2.17 1.80 1.9

№ 14. Глубина слоя диффузии, определенная по выборке из партии микросхем, имеет следующие значения (в мкм):

10.7 9.8 9.8 10.3 10.1 8.6 10.9 8.6 9.2 10.2 9.2 9.8 10.5 9.0 10.0 8.8 9.4 10.3 9.0 11.2 10.8 9.2 9.4 11.0 10.1 9.1 10.0 10.9 9.5 10.4 9.7 9.7 10.5 9.7 10.1

№ 15. При заданном токе 10 мА измерялось прямое падение напряжения на диодах. Получены следующие значения (в вольтах):

0.917 0.918 0.921 0.909 0.919 0.917 0.918 0.909

0.916 0.917 0.918 0.919 0.919 0.916 0.917 0.923

0.920 0.916 0.917 0.922 0.915 0.917 0.916 0.912

№ 16. Измерение массы вещества, полученного в результате химической реакции, дало следующие результаты (в г):

14.5 17 15 14.8 17 21 22 17.5 19.2 23.3 14 14.2

15.0 14 16 20.0 15 24 14 15.1 14.1 15.5 16 14.8

№ 17. Производительность цеха в течение 20 рабочих дней характеризовалась следующими цифрами (в условных единицах):

13.0 13.1 13.0 12.5 12.8 12.3 12.1

12.2 12.1 12.7 12.0 12.6 12.8 12.5

13.1 13.2 12.6 12.4 13.0 12.9 13.2

№ 18. Для 26 деталей получены следующие отклонения контрольного размера от номинального значения (в мкм):

-11, 10, 4, 5, -4, -5, 15, -9, 21, 7, -3, 6,

4, 5, -6, -10, -15, 2, 1, -3, 2, -2, 3, -4

№ 19, 20. Имеется выборки из 2-х партий микросхем после легирования поликремния, измерялось удельное сопротивление:

1 партия

52 33 76 32 49 32 191 112

32 71 33 69 92 48 16 50

51 39 66 40 70

2 партия

119 17 43.5 43 90 40 50 108

62 16 97 96 46 100 84 35

94 75 68 70 72

№ 21. Показатели времени для 24 бегунов на одной дистанции (в с):

33.5 20.1 23.6 26.3 19.9 16.7 23.2 31.4

28.2 35.3 29.3 30.5 25.0 24.2 19.0 20.0

28.0 17.9 24.0 25.0 20.2 19.5 20.5 23.0

№ 22. Из партии кур сделана выборка, показатели массы (в кг):

3.21 2.82 2.66 2.45 2.32 2.27 2.14 2.08

2.01 2.0 1.99 2.02 2.03 2.09 2.15 2.23

3.34 2.62 1.90 2.00

№ 23, 24. Данные по недельному потреблению хлеба и масла на семью из 4 человек собраны по 20 семьям:

Хлеб (в кг)

6.0 5.0 7.0 6.5 4.0 8.0 4.5 6.5 5.5 4.87

9.0 8.5 7.2 7.0 6.5 5.0 5.5 4.0 5.0 6.0

Масло

0.7 1.0 0.8 1.2 1.3 1.4 0.7 0.8 1.0

1.8 1.2 0.5 1.0 1.3 0.9 0.8 1.4 1.5 1

№ 25, 26. Объем потребления апельсинов и яблок в различных регионах

апельсины (тыс. ящиков)

100 115 50 85 95 112 125 112 112 110 130 129

80 90 95 118 120 95 110 95 95 110 128 136

яблоки (тыс. ящиков)

100 101 102 111 106 100 96 97 120 100 98 105

106 109 112 116 120 123 127 89 99 100 110 115

№ 27. Данные о количестве членов семьи в 50 обследованных фермерских хозяйствах:

2 5 5 6 3 2 5 6 5 6

6 6 4 3 3 5 7 3 5 5

5 4 5 6 4 4 4 4 7 4

4 3 5 3 7 4 6 6 4 7

4 4 6 7 6 3 3 5 8 5

№ 28. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы в 40 обследованных хозяйствах:

27.1 18.2 16.3 22.0 24.3 24.8 33.0 27.3

28.5 15.1 19.5 28.1 25.1 26.7 28.4 29.6

23.7 18.0 31.0 19.8 26.0 23.5 20.2 25.1

22.8 27.0 20.4 24.0 29.5 22.9 19.9 27.0

25.3 23.9 21.5 23.1 21.1 22.6 25.8 23.8

№ 29. Имеются следующие данные о тарифных разрядах 50 рабочих одного из цехов завода:

3 5 6 3 2 4 3 5 5 6

4 3 2 3 4 5 4 2 4 6

5 3 4 5 4 3 3 6 2 3

2 6 3 4 5 3 4 4 5 4

№ 30. Имеются данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий (млн. руб.):

9.4 8.0 6.3 10.0 15.0 8.2 7.3 9.2 5.8 8.7

5.2 13.2 8.1 7.5 11.8 14.6 8.5 7.8 10.5 6.0

5.1 6.8 8.3 7.7 7.9 9.0 10.1 8.0 12.0 14.0

8.2 9.8 13.5 12.4 5.5 7.9 9.2 10.8 12.1 12.4

12.9 12.6 6.7 9.7 8.3 10.8 15.0 7.0 13.0 9.5

Контрольные вопросы

1. Генеральная и выборочная совокупности.

2. Вариационный и частотно-вариационный ряды.

3. Вариант. Частота, частость.

4. Группировка.

5. Количество интервалов. Формула Стерджесса.

6. Интервальный ряд.

7. Вероятность попадания в интервал.

8. Гистограмма.

9. Полигон частот и частостей.

10. Эмпирическая функция распределения.

Лабораторная работа № 2

Определение точечных статистических оценок параметров

распределения по одномерной выборке

Цель работы: формирование представлений и практических навыков в определении точечных статистических оценок параметров распределения генеральных совокупностей по статистическим данным для одномерных выборок.

Теоретическая справка

Любое значение неизвестного искомого параметра генеральной совокупности, вычисленное на основе выборочных данных, носит элемент случайности. Такое случайное приближенное значение параметра генеральной совокупности называется оценкой параметра генеральной совокупности (или выборочным, статистическим параметром генеральной совокупности).

Параметр ГС =Истинное значение параметра ГС=Параметр случайной величины , описывающей исследуемый признак.

Оценка параметра генеральной совокупности, полученная по выборке и выраженная одним числом, называется точечной.

Произвольную оценку параметра а будем обозначать .

Оценка параметра ГС называется “ доброкачественной”, если она удовлетворяет трем требованиям: состоятельность; несмещенность; эффективность.

1. Оценка параметра а называется состоятельной, если она по вероятности при увеличении числа опытов сходится к оцениваемому параметру:

2. Оценка параметра а называется несмещенной, если ее матожидание равно оцениваемому параметру:

3. Несмещенная оценка параметра а называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра а, вычисленных по выборкам одного и того же объема n:

В качестве доброкачественных статистических оценок параметров генеральной совокупности необходимо иметь оценки, одновременно удовлетворяющие требованиям несмещенности, состоятельности, эффективности, такие оценки или близкие к ним обозначают: