В произвольном базисе

Как мы уже заметили, выполнения условий

Mx = 0, Dx = 1 (2.29)

легко добиться, вводя замену

x¢ = (x-Mx) . (2.30)

Сложнее дело обстоит с выполнением условия (2.27). Здесь речь идет о переходе от произвольной системы к системе попарно некоррелированных случайных величин, т.е. к ортогональному базису. Этот процесс ортогонализации аналогичен известной процедуре Грамма – Шмидта, которая в линейной алгебре приводит к ортогональной системе векторов[9, 11, 13], а в математическом анализе – к ортогональной системе функций. Покажем эту процедуру, полагая для простоты n = 2.

Рассмотрим систему двух случайных величин x₁, x₂, для которых выполнены условия (2.29). Предположим, что ранг ее матрицы ковариаций C = (c _{i j}), 1£ i, j £ 2, равен двум, т. е. определитель этой матрицы не равен нулю. В противном случае, если det C = 0, из теоремы 1 п. 6 следует, что случайные величины x₁, x₂ линейно зависимы и потому ê r (x₁, x₂)½ = 1. Это тривиальный случай, базис составляет одна величина.

Для перехода к ортогональному базису x₁₀, x₂₀ полагаем:

x₁₀ = x₁,

x₂₀ = x₂ + t x₁₀. (2.31)

Выбираем t из условия некоррелированности x₁₀, x₂₀, получим:

M(x₁₀ x₂₀) = r (x₁, x₂) + t = 0. (2.32)

Поэтому в качестве ортогонального базиса можно принять

x₁₀ = x₁, x₂₀ = x₂ – r x₁,

где r = r (x₁, x₂) – коэффициент корреляции исходной системы величин. Однако, добиваясь выполнения условия (2.29) для новой системы, получаем:

(2.33)

Далее процедура выбора линии регрессии в базисе x₁₀ , x₂₀ происходит описанным выше образом. Обратный переход к старым координатам x₁, x₂ не представляет трудностей.

П р и м е р. В условиях предыдущего примера снимается предположение о некоррелированности случайных величин x₁, x₂, x₃. Это означает, что факторы, предположительно влияющие на характеристику h, не являются независимыми. Поэтому x₁, x₂, x₃ не могут представлять ортогональный базис.

Известна корреляционная матрица случайных величин h, x₁, x₂, x₃ :

R = .

Как видим из корреляционной матрицы, между x₁ и x₂ имеет место некоторая корреляционная зависимость. Поэтому целесообразно перейти к ортонормированному базису и затем применить стандартную процедуру. Ради этого полагаем:

По этим формулам получаем выражение нового (ортогонального) базиса через старый:

x₁₀ = 11, 49 x₁ – 11, 75;

x₂₀ = 31, 65 x₂ – 3, 805 x₁ –52, 62;

x₃₀ = 5, 88 x₃ – 29, 32.