Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Обробка парних порівнянь
|
|
При встановленні причинно-наслідкових залежностей між об'єктами предметної області, експертам у ряді випадків складно виразити їх чисельно. Тобто важко встановити кількісно ступінь впливу тієї або іншої причини (об'єкта) на конкретний наслідок. Особливо психологічно це складно, якщо таких об'єктів багато.
Разом з тим, експерти порівняно легко вирішують завдання парного порівняння. Це завдання полягає в тім, що експерт встановлює переваги об'єктів при порівнянні всіх можливих пар. Тобто експерт, розглядаючи всі можливі пари об'єктів, у кожній з них встановлює ту причину, що на його думку дуже впливає на наслідок. Виникає питання, як одержати оцінку всієї сукупності об'єктів на основі результатів парного порівняння, виконаного групою експертів.
Нехай кожний з m експертів робить оцінку впливу на результат всіх пар об'єктів, даючи числову оцінку
|
| Rm | O1 | ... | Oj | ... | On | |||||||||||
| R2 | O1 | ... | Oj | ... | On | O1 | ... | Oj | ... | On | K | |||||
| R1 | O1 | ... | Oj | ... | On | O1 | K1 | |||||||||
| O1 | ... | ... | ||||||||||||||
| ... | Þ | Oi | xij=M[rij] | Þ | Ki | |||||||||||
| Oi | rij1 | ... | ... | |||||||||||||
 ...
| On | Kn | ||||||||||||||
| On | m |
Рис.1. Послідовність обробки парних порівнянь
Як випливає з рис.1послідовність обробки парних порівнянь полягає в тому, що на підставі таблиць парних порівнянь m -експертів будується матриця математичних очікувань оцінок всіх пар об'єктів. Потім по цій матриці обчислюється вектор коефіцієнтів відносної важливості об'єктів.
Якщо при оцінці пари Oіj із загальної кількості експертів mі висловилися на користь Oі, mj експертів на користь Oj, а mp вважає ці об'єкти рівноправними, то оцінка математичного очікування дискретної випадкової величини rіj буде дорівнювати:
Так як загальна кількість експертів 
, то визначаючи звідси mp і підставляючи його у вищенаведений вираз, одержимо
Очевидно, що хіj + хjі = 1. Сукупність величин хіj утворять матрицю Х =|| хіj || розмірності n 
n, на основі якої можна побудувати ранжування всіх об'єктів і визначити коефіцієнти відносної важливості об'єктів, тобто вектор
k = [ k1, k2,... kn ] T
Одним зі способів визначення значень елементів вектора К є ітераційний алгоритм виду:
а) початкова умова t=0
б) рекурентні співвідношення
де Х - матриця математичних очікувань оцінок пар об'єктів, kt - вектор
коефіцієнтів відносної важливості об'єктів порядку t.
- умова нормування.
в) ознака закінчення ||k t - k t -1||< E.
Якщо матриця Х невід’ємна й нерозкладна (тобто шляхом перестановки рядків і стовпців її не можна привести до трикутного виду), то при збільшенні порядку t ® ¥ величина lt сходиться до максимального власного числа матриці Х, тобто
Це твердження випливає з теореми Перрона-Фробеніуса й доводить збіжність наведеного вище алгоритму [6].
Приклад. Припустимо, що в результаті опитування трьох (m =3) експертів про ступінь впливу на результат трьох (n =3) різних факторів (об'єктів) отримані наступні таблиці парних порівнянь:
Експетр 1(R1) Експерт 2(R2) Експерт 3(R3)
| О1 | О2 | О3 | О1 | О2 | О3 | О1 | О2 | О3 | |||||
| О1 | 0, 5 | О1 | 0, 5 | 0, 5 | 0, 5 | О1 | 0, 5 | 0, 5 | |||||
| О2 | 0, 5 | О2 | 0, 5 | 0, 5 | 0, 5 | О2 | 0, 5 | ||||||
| О3 | 0, 5 | О3 | 0, 5 | 0, 5 | 0, 5 | О3 | 0, 5 | 0, 5 |
Для одержання групової оцінки ступеня впливу кожного з об'єктів на результат, побудуємо матрицю математичних очікувань оцінок кожної з пар об'єктів, що для розглянутого прикладу буде мати вигляд:
| О1 | О2 | О3 | |
| О1 | 3/6 | 5/6 | 4/6 |
| О2 | 1/6 | 3/6 | 1/6 |
| О3 | 2/6 | 5/6 | 3/6 |
Значення елементів цієї матриці отримані з наступних виразів:
Скористаємося вищеописаним алгоритмом для одержання вектора відносної важливості об'єктів. Для наочності, кожний із кроків представимо у вигляді:
крок 0:
крок 1:
крок 2:
Продовжуючи ітераційний процес доти, поки норма оцінки не буде менше заданої (
(| Kіt - Kіt-1 |) < 0, 001) одержимо
На четвертому кроці виконується умова виходу, що дозволяє за групову оцінку ступеня впливу на результат прийняти вектор коефіцієнтів відносної важливості об'єктів виду:
|
|