Метричні простори

Додатки

Оскільки розв’язками рівнянь математичної моделі можуть бути об'єкти різного походження: числа, упорядковані набори чисел, вектори, функції (при розгляді диференціальних і інтегральних рівнянь), то при обґрунтуванні методів реалізації математичних моделей різноманітних задач доцільно одержати аналоги відповідних теорем для відображень множин довільної природи. Це призводить до необхідності розгляду множин, на яких уведена відстань. Такі множини називаються метричними просторами. Дамо точні визначення.

Нехай X — непорожня множина і кожній парі елементів х, у з множини поставлено у відповідність невід’ємне число r(х, у) з такими трьома властивостями:

1) r(х, у) = 0 тоді і тільки тоді, коли х = у;

2) r(х, у) = r(у, х) (властивість симетрії);

3) r(х, у) = r(x, z) +r(z, у) (нерівність трикутника).

Ці властивості виконуються для всіх х, у, z з X. Число r(х, у) називають відстанню між елементами х та у. Множина X із заданою на ньому відстанню називається метричним простором. Розглянемо кілька прикладів метричних просторів.

Приклад 1 На множині R дійсних чисел відстань визначається, як правило,: r(х, у)=|х-у|, х, у є R. На R можна розглядати й інші відстані. Наприклад, d(x, у)=|arctgx-arctgy|, х, у є R.

Приклад 2 На множини Rⁿ упорядкованих наборів n дійсних чисел можна розглянути такі три відстані:

(евклідова відстань);

де х = (х₁,..., х_n), у = (у₁,..., у_n) — довільна пара наборів дійсних чисел.

Цей метричний простір, як правидо, використовується при вивченні систем рівнянь з декількома невідомими.

Приклад 3 Нехай f[а, b] — множина неперервних функцій на відрізку [а, b]. Тоді формула

визначає відстань між функціями на [а, b].

У будь-якому метричному просторі Х з відстанню r можна визначити поняття збіжної фундаментальної послідовності.

Послідовність {х_n} = (х₁, х₂,...) елементів метричного простору X називається збіжною до елемента х₀ є X, якщо для кожного e> 0 можна знайти таке натуральне число N, що r(х_n, х₀)< e для всіх n > N. Елемент х₀ називається границею послідовності {х_n}, тобто .