Множества

В любой математической дисциплине исходным является представление о некотором объекте. Такими объектами могут являться буквы, цифры, геометрические фигуры, их комбинации. Другими словами приходится говорить об объектах, объединенных некоторым общим признаком. Если указан признак, согласно которому объекты могут быть объединены, то говорят, что задано множество. Объекты, входящие в данное множество, называют элементами множества. Для того, чтобы указать, что некоторая совокупность элементов х составляет множество А, пишут:

А={x}.

Здесь фигурные скобки означают, что элементы объединены в множество. Тот факт, что элемент х принадлежит множеству А, записывают так: . Если же элемент х не принадлежит множеству А, то пишут так: .

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Множество стульев в данной комнате – конечно, множество точек на заданном отрезке прямой бесконечно.

Возможны различные способы задания множества. Один из них состоит в том, что перечисляются все элементы. Ясно, что этот способ не применим к бесконечным множествам. Как перечислить множество натуральных чисел? В подобных случаях множество задают путем задания некоторого характеристического признака, по которому одни элементы включаются в множество, а другие нет. Может оказаться, что для указанного признака не находится ни одного элемента. В этом случае говорят, что множество элементов пусто.

Если мы рассматриваем некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого более широкого множества, то определяют понятие подмножества. Говорят, что множество В является подмножеством другого множества А, если каждый элемент х из В является также элементом множества А. В этом случае пишут так:

.

Какие операции можно производить над множествами? Определим эти операции.