Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Пусть задана p-ичная система счисления и число записанное этой системе необходимо перевести в q-ичную систему. Пусть в q-ичной системе искомое число имеет вид

q_mq_m-1…q₁q₀,

здесь q_i - цифры в q-ичной системе счисления. Искомое число А может быть записано как

A = q_mq^m + q_m-1q^m-1 + q₁q + q₀.

Вычислим отношение A/q,

A/q = q_mq^m-1 + q_m-1q^m-2 +q₁ +q₀/q

Выделим целую и дробную часть отношения A/q.

Целая часть [A/q] равна

[A/q] = q_mq^m-1 + q_m-1q^m-2 + …+q₁.

Дробная часть {A/q} равна

{A/q} = q₀/q.

Отсюда получаем q₀ = q{A/q}.

Пусть A₁ = [A/q] и вычислим A₁/q,

A₁/q = q_mq^m-2 + q_m-2q^m-3 + …+q₂ + q₁/q.

Выделим целую и дробную часть этого выражения.

[A₁/q]=q_mq^m-2 + q_m-2q^m-3 + … +q₂.

{A₁/q} = q₁/q.

Отсюда получаем q₁ = q{A₁/q}.

Пусть A₂ = [A₁/q]. Эту процедуру мы продолжим до тех пор пока не получим A_i+1 = [A_i/q]=0. Деление чисел N_i на q выполним в p-ичной системе счисления, а остатки от этого вычисления выпишем в q-ичной системе.

Рассмотрим теперь процедуру перевода дробного числа, заданного в p-ичной системе. Предположим, что эта дробь в q-ичной системе выглядит так

W=q_-1q^-1 + q_-2q^-2 + …+q_-tq^-t +…, здесь подлежат определению коэффициенты q_-1, q_-2, …, q_-t, ….

Рассмотрим выражение

QW=q_-1+q_-2q^-1 + …+q_-tq^-t+1 + ….

Выделим целую часть и дробную часть

[qW]=q_-1, {qW}=q_-2q^-1 + …+ q_-tq^-t+1.

Обозначим через W₁ дробную часть {qW}. Рассмотрим выражение qW_1.

qW₁ = q_-2 + q_-3q^-1+…+ q_-tq^-t+2 +…

[qW₁]=q_-2, {qW₁}=q_-3q^-1 + …+q_-tq^-t+2 +….

Обозначим дробную часть [qW₁] через W₂ и продолжим описанные здесь действия до тех пор пока не получим W_i+1 = 0.

Следует напомнить, что умножение числа W на q выполняется в p-ичной системе, значение целой части после умножения на q записываем в q-ичной системе счисления.

Шестнадцатеричная система счисления.

Мы переходим к рассмотрению шестнадцатеричной системы счисления в которой, как ясно из названия, цифр для изображения чисел шестнадцать. В качестве цифр в этой системе выбираются следующие 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Как следует из записи, буквам сопоставляются цифры соответственно равные A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15.

Построим таблицы сложения и умножения чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Таблица сложения.

Рассмотрим пример выполнения операции сложения в шестнадцатеричной системе.

Пример:

7В34F

+ 31DC4

AD113

Выполним подробно операции, используемые в этом примере.

F+4=13, пишем 3, а единицу переносим в следующий разряд.

4+С+1=11, опять пишем 1, а единицу переносим в следующий разряд.

3+D+1=11, выполняем, описанную выше процедуру

B+1+1=D

7+3=A.

Приведем таблицу умножения.

Таблица умножения.

Рассмотрим пример умножения чисел.

* 378

3СА0

350С

16ВС

1A4960

При выполнении умножения мы рассуждали следующим образом.

8*4=20 (0 пишем, два переносим в следующий разряд).

8*9=48+2= 4А (пишем А, 4 переносится в следующий разряд).

8*7=38+4= 3С (пишем С, 3 переносим в следующий разряд).

Итак появилась первая строка при умножении 3СА0. Аналогично выполняются оставшиеся действия.

Упражнения:

Сложение числа BCD+EFA.

Проверьте результат делением

2792: 5=7ЕА

7387: 23=34D