Дисперсионный анализ

На результаты исследований зачастую оказывают большое влияние целый ряд факторов, обусловливающих изменчивость значений иссле­дуемой величины. Приведенные выше методы статистической обработ­ки дают возможность оценить только общую изменчивость изучаемой величины без оценки влияния на степень варьирования изучаемого свойства отдельных факторов (влияние скорости приложения нагрузки, влажности материала, вида добавок, их количества и др.).

Пусть генеральные совокупности X ₁, X ₂, …, X_n распределены нор­мально и имеют одинаковую, хотя и неизвестную, дисперсию; математи­ческие ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требу­ется при заданном уровне значимости по выборочным средним прове­рить нулевую гипотезу М (X ₁) = М (X ₂) =... = М (X_n)о равенстве всех математических ожиданий. То есть, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние. Казалось бы, для сравне­ния нескольких средних их можно очень просто сравнить попарно. Одна­ко с возрастанием числа средних возрастает и наибольшее различие ме­жду ними: среднее меньше наименьшего из средних или среднее больше наибольшего из средних полученных до нового опыта. По этой причине для сравнения нескольких средних или каких-либо других свойств двух или нескольких выборок пользуются другим методом, который основан на сравнении дисперсий и поэтому назван дисперсионным анализом.

Дисперсионный анализ при обработке результатов испытаний позво­ляет их общую вариацию разложить на систематическую (факторную дисперсию), обусловленную влиянием изучаемых факторов; и случай­ную, обусловленную влиянием случайных, неучтенных факторов. Оцен­ка достоверности систематической вариации по сравнению со случайной и составляет сущность дисперсионного анализа.

Для суждения о степени достоверности систематической вариации вычисленное по экспериментальным данным отношение мер варьиро­вания между систематической и случайной вариациями сравнивается с соответствующим табличным отношением. Если вычисленное по экспе­риментальным данным отношение мер варьирования равно или больше соответствующего табличного отношения, то влияние изучаемого фак­тора считается доказанным с той или иной степенью вероятности. Если оно меньше табличного, то нет оснований приписывать исследуемому фактору какое-либо существенное влияние на результат.

На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор F, который имеет п уровней F ₁, F ₂,..., F_п, на изучаемую величину X. Например, если требуется выяснить какая добавка наиболее эффек­тивна для повышения водонепроницаемости бетона, то фактор F – добавка, а его уровни – количество добавки. Если различие между этими дисперсиями значимо, то факторы оказывают существенное влияние на X; в этом случае средние наблюдаемых значений на каж­дом уровне (групповые средние) различаются так же значимо. Когда же удается установить наиболее существенный фактор (вид добавки), то для уточнения наиболее результативного уровня (количества добавки) производят дополнительное попарное сравнение средних. То есть после установления влияния изучаемых факторов на результат переходят к оценке влияния отдельных их вариантов и сочетаний.

Дисперсионный анализ необходим прежде всего при оценке работы технологической линии по приготовлению железобетонных изделий, ко­гда требуется установить однородность нескольких совокупностей (дис­персии этих совокупностей одинаковы по предположению). Если дис­персионный анализ покажет, что математические ожидания одинаковы, то в этом случае совокупности однородны. Однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

Например, для контроля качества бетона изделий готовят и испыты­вают по 3 образца-кубика из отдельного замеса бетонной смеси. В тече­ние смены выполняют несколько таких определений, результаты кото­рых сводят в выборку. Дисперсии же генеральных совокупностей, соответствующих этим выборкам, равны между собой, т. е. , так как по сути генеральная совокупность одна и та же (например совокуп­ность результатов испытаний образцов бетона в течение года работы). Если ритм работы технологической линии и параметры используемых материалов не нарушаются, следует ожидать, что характеристики рас­сеяния результатов испытаний прочности образцов в выборках начала и конца месяца будут невелики.

При дисперсионном анализе принимают нормальное распределение и различные критерии. Критериями для сравнения выборок служит ра­венство двух выборочных дисперсий, равенство двух выборочных сред­них и однородность (равенство) ряда выборочных дисперсий.

Критерий равенства двух дисперсий. Дисперсии двух выборок срав­нивают, используя F -критерий. Для этого вычисляют отношение боль­шей дисперсии к меньшей

. (5.1)

Поскольку проверяется гипотеза равенства генеральных дисперсий, желательно, чтобы это отношение было как можно ближе к единице. Число степеней свободы принимают соответственно а где п – количество значений в выборке. Критерий равенства двух дисперсий справедлив при F_эксп < F_p ().

Критерий равенства двух средних. Средние значения случайной величины в выборках сравнивают используя t -критерий. Когда т. е. выполняется условие F -критерия, вычисляют общую дисперсию двух выборок и экспериментальное значение нормированно­го показателя по формулам:

, (5.2)

. (5.3)

Критерий равенства справедлив, если .

Величину доверительной вероятности выбирают в преде­лах 0, 90–0, 99. Число степеней свободы f определяют из условия .

Когда гипотеза равенства дисперсий не выполняется, производят приближенную проверку по формуле

. (5.4)

Число f степеней свободы при этом определяют из выражения

(5.5)

где

. (5.6)

Критерий равенства средних справедлив при , т. е. при таких условиях нет существенного различия между средними.

Пример 5.1. Сравним результаты испытаний двух партий бетонных образцов. В первой партии ( = 29 образцов) средний предел прочности = 40, 1 МПа, = 8, 2 МПа. Во второй партии ( = 13 образцов) –
= 40, 9 МПа, а 7, 1 МПа.

Вычисление отношения дисперсий

.

Значения определим из табл. 5 прил. 2, приняв а При уровне значимости , а при .

В обоих случаях . Таким образом, с любой величиной достоверности можно утверждать, что имеет место равенство дисперсий, выборки представительны и достаточно хорошо воспроизводят генеральную совокупность.

В связи с выполнением критерия вычислим общую дисперсию двух выборок

тогда

По табл. 5 прил. 2 определяем величину для

,

при ,

при .

Таким образом, вероятность того, что выборочные средние равны и /- представляют генеральную совокупность

Р (–1, 68 < t < +1, 68) = 0, 90 или

Р (–2, 02 < t < +2, 02) = 0, 95,

что является достаточно высоким уровнем вероятности.

Следовательно, если , то нет существенного различия
между средними.

Критерий однородности ряда дисперсий. Однородность (равенство) ряда выборочных дисперсий в случае равенства числа измерений случайной величины в выборках оценивают по критерию Кохрена

, (5.7)

где – наибольшая выборочная дисперсия; – число выборок.

Если , то критерий однородности ряда дисперсий справедлив.

Пример 5.2. При определении предела прочности получены сле­дующие , пяти партий бетона: 2, 5; 2, 8; 3, 2; 2, 4; 2, 7. Ошибки во всех случаях подсчитывались по 20 измерениям. Рассмотрим воспроизводимость определения прочности.

Найдём .

По табл. 5 прил. 2 методом интерполяции находим при уровне значимости р = 0, 05, для m = 5 и n – 1 = 19 = 0, 3558.

Таким образом, G _max < и гипотеза однородности дисперсий при­нимается с достоверностью Р = 1 – р = 0, 95.

Однофакторный дисперсионный анализ. Основная идея дисперси­онного анализа при оценке влияния качественного фактора F на изу­чаемую величину x ₁состоит в «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной слу­чайными причинами. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на x ₁. В этом случае сред­ние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) раз­личаются также значимо.

Когда установлено, что фактор существенно влияет на x и требуется выяснить, какой из уровней оказывает наибольшее воздействие, допол­нительно производят попарное сравнение средних.

В более сложных случаях исследуют воздействие нескольких факто­ров на нескольких постоянных или случайных уровнях и вычисляют влияние отдельных уровней и их комбинаций (многофакторный анализ).

Ограничимся пока простейшим случаем однофакторного анализа, ко­гда на X воздействует один фактор F, который встречается в
r -вариантах. Будем предполагать, что число наблюдений в каждом ва­рианте равно п ₁, п ₂, ... п_п.

Сведём все наблюдения в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Результаты наблюдений

О влиянии исследуемого фактора судят по F -отношению для дисперсий и . Дисперсия обусловлена колебаниями х_i внутри вариантов, т. е.

, (5.8)

где N – общее число измерений.

Вторая дисперсия характеризует дисперсию средних значений внутри ва­рианта к общему среднему, т. е. отображают колебания средних

(5.9)

в отдельных вариантах относительно общей средней для всей совокупности.

Отношение дисперсий со степенями своды и сравнивают с табличными значениями . При исследуемый фактор считают значимым.

Пример 5.3. Выполним дисперсионный анализ для определения влияния на прочность бетона в течение месяца недельных режимов ра­боты технологической линии по изготовлению железобетонных изделий. Результаты измерений прочности приведены в табл. 5.2, а промежуточ­ных расчетов – в табл. 5.3.

Таблица 5.2

Результаты испытаний прочности

Таблица 5.3

Таблица промежуточных результатов

Число измерений
	100, 7 99, 9 100, 7 99, 9	2034, 51 1999, 89 2036, 79 2005, 41	10140, 49 9980, 01 10140, 01 9980, 01	2028, 10 1996, 00 2028, 10 1996, 10	6, 41 3, 89 8, 69 9, 41
S n SS N = = 20	= 401, 2	8076, 69	40241, 00	8048, 20	28, 40

Пользуясь данными табл. 5.3 определяем дисперсию

.

Дисперсию находим по преобразованному выражению

, (5.10)

.

Экспериментальное значение критерия F_эксп =1, 78: 0, 043 = 41. Таб­личное значение критерия для числа степеней свободы большей дисперсии = 20 – 4 = 16 и меньшей дисперсии = 4 – 1 = 3 находим по табл. прил. 2

F (16, 3) = 8, 7 для р = 0, 05.

Так как F_эксп > , то опытные данные отрицают «нуль-гипотезу» о равенстве дисперсий. Это означает, что изменение прочности в течение недельного периода работы технологической линии не случайно, и тех­нологический процесс требует совершенствования.