Например, при и становится равным 2,45, т. е.

.

При малых выборках ( < 30) в особенности для малых значений замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, если n = 5 p = 0, 99, то, пользуясь распределением Стьюдента, найдем t = 4, 6, а, используя функцию Лапласа, найдем t = 2, 58, т. е. доверительный интервал намного уже, чем найденный по распределению Стьюдента.

Однако это вовсе не является свидетельством слабости метода Стьюдента (он дает не вполне определенные результаты – более широкий доверительный интервал), а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем свойстве.

В случае обработки экспериментального материала, когда нужно определить статистическую значимость величины, вычисляют значение для этой величины по формуле

. (4.24)

Затем, учитывая число степеней свободы, сравнивают с табличным значением табл. 4 прил. 2). Величина значима, если > .

Рассмотрим пример определения предела прочности гранодиорита по результатам испытания образцов на сжатие. При испытании 5 образцов (n = 5) среднее значение прочности составило = 112 МПа, а величина среднего квадратического отклонения = 8, 0 МПа. Используя формулу (4.24), определим

.

По табл. 4 прил. 2 при числе степеней свободы = 5 – 1 = 4 определим = 8, 61 даже при уровне значимости 0, 001. Так как , то правомерность сделанных определений имеет вероятность > 0, 999.

При обработке малых выборок часто приходится выдвигать «нуль-гипотезу», т. е. гипотезу о том, что изучаемый фактор незначим. Если значимость p изучаемого фактора при проверке по -критерию больше 0, 01, то «нуль-гипотезу» отвергают.

Распределение Фишера (F-распределение). Его используют для сравнения выборок по их дисперсиям; оно имеет асимметричную форму кривой распределения плотности вероятности и зависит только от числа степеней свободы выборочных дисперсий, которые определяют как

. (4.25)

При этом возможны 2 случая.

В первом случае возникает необходимость проверки «нуль-гипотезы», при которой должно выполняться условие

, (4.26)

где ; – табличное значение функции F (табл. 5 прил. 2);
p – уровень значимости; p – достоверность существования «нуль-гипотезы».

Определим, насколько значимы расхождения дисперсий, полученных при оценке результатов сушки древесины двумя сменами деревообра­батывающего цеха. В первой смене (п = 18 образцов) средний процент влажности составил 14, 6 %, дисперсия = 3, 24; во второй смене
(п = 12 образцов) указанные показатели составили 15 % и 2, 89 соответ­ственно.

Отношение большей дисперсии к меньшей – экспериментальное значение F_эксп – определим по формуле

,

значение найдем в табл. 5 прил. 2. При этом f ₁ = 17 и f ₂ =11. Для уровня значимости р = 0, 20 табличное значение = 1, 66, а для р = 0, 05
и 0, 01 они еще выше.

Во всех случаях . Это значит с любой величиной достоверности можно утверждать, что имеет место равенство дисперсий, выбор­ки представительны и достаточно хорошо воспроизводят генеральную совокупность.

Во втором случае, если отвергаем «нуль-гипотезу» с уровнем значимости р, отношение большей дисперсии к меньшей будет превосходить табличные значения , а не значение , как это было в первом случае, когда применялся односторонний крите­рий. Критерий будет двусторонним, т. е. положение о достоверности того, что гипотеза не существует – справедливо.