Математические умозаключения в обучении математике

Умозаключением называется такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, находящихся в определенной смысловой зависимости, получают новое суждение, извлекая его из исходных суждений. В любом умозаключении 3 части: 1) посылки (исходные суждения), 2) логическое обоснование вывода, 3) заключение (вывод из посылок). Умозаключение называется непосредственным, если вывод делается на основании только одной посылки, и опосредованным, если на основании нескольких посылок.

Виды умозаключений: а) дедуктивное (дедукция, от латинского слова «выведение») умозаключение от общего суждения к частному, б) индуктивное (индукция, от латинского слова «наведение») – умозаключение от частных суждений к общему, в) аналогия (от греческого слова «сходство») – умозаключение от одного частного суждения к другому, г) традукция (от латинского слова «перемещение») – умозаключение от одного или нескольких суждений одной степени общности к новому суждению той же степени общности (в том числе, от единичного к единичному) без логического обоснования.

3.1.1. Простейшая и типичная форма дедуктивного умозаключения - силлогизм: из двух посылок (большой и малой, имеющих общий термин), получается третье суждение – вывод. Аксиома силлогизма: все, что утверждается относительно всего множества элементов, распространяется на любой элемент этого множества. Например, доказывая подобие данных на чертеже треугольников, опираются на общие признаки подобия треугольников.

В логике формулируется система правил, которые нужно соблюдать для получения истинного заключения в силлогизме. Приведем некоторые, из них: 1) в силлогизме должно быть только три термина – не больше и не меньше, причем общий (средний) термин должен быть одним и тем же; 2) если одна из посылок является отрицательной, то и вывод не может быть положительным; 3) из двух отрицательных посылок нельзя получить никакого вывода; 4) из двух частных посылок нельзя получить с помощью силлогизма никакого вывода; 5) если одна из посылок частная, то и вывод, если он возможен, может быть только частным. Дедуктивное умозаключение может быть в трех видах: а) от более общего суждения к менее общему, б) от общего к общему, в) от единичного к частному. Пример последнего: «число 2 – простое», «число 2 – натуральное», следовательно, «некоторые натуральные числа являются простыми».

Если часть силлогизма в рассуждениях опускается, получается сокращенный силлогизм (энтимема); если заключение одного силлогизма служит посылкой для другого, и затем следует общий вывод, получается сложный силлогизм (полисиллогизм). Весь процесс доказательства математической теоремы строится как цепь силлогизмов; в качестве больших посылок используются аксиомы или ранее доказанные теоремы, или следствия из них, или определения; малыми (или подводящими) посылками служат условия теорем, или следствия из них, полученные на основании умозаключений.

Правильность дедуктивного умозаключения зависит от истинности обеих посылок и соблюдения правил вывода; в этом случае заключение всегда истинно, это достоинство дедукции. Другое достоинство ее выводы являются общими, охватывающими все множество возможных случаев. Недостаток дедукции для преподавания – большие трудности для понимания и усвоения учащимися.

Термин «дедукция» употребляется также в следующих его значениях: а)дедукция как метод исследований предполагает переход от знания более общих к знанию менее общих положений; б) дедукция как форме изложения материала, когда от общих положений, законов и т.п. идут к менее общим. В этих значениях дедукция играет огромную роль в науке математике и ее преподавании. Математика является дедуктивной наукой, в которой только небольшое число суждений (аксиом) принимается за истинные, без доказательства, а истинность всех остальных – проверяется (доказывается). Доказать теорему - значит, опираясь на суждения, истинность которых уже установлена, показать, что заключение теоремы истинно. Доказательство обосновывает общность доказываемого предложения, т.е. применимость его ко всем частным случаям. При помощи доказательств математические суждения приводятся в стройную систему научных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между понятиями.

Впервые теория дедукции разработана Аристотелем, развивалась и совершенствовалась с развитием науки логики. Развитие с учетом потребностей математики она получила как теория доказательства в математической логике.

3.1.2. Методы доказательства теорем основываются на свойствах операций над высказываниями, законах логики. Приведем основные законы:

1) – закон силлогизма;

2) – закон контрапозиции (прямая и противоположная обратной теоремы одновременно истинны или одновременно ложны);

3) «если есть q, то есть и его основание р» закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть обоснована другими мыслями, истинность которых известна;

4) – закон тождества: каждая мысль, повторяясь в умозаключении, должна сохранять определенное устойчивое содержание;

5) - закон противоречия: не могут быть одновременна истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении;

6) - закон исключенного третьего: из двух противоречащих высказываний в одно и то же время и в одном и том же отношении одно непременно истинно;

7) – закон двойного отрицания.

Иногда объединяют закон противоречия и закон исключенного третьего в следующей формулировке: между противоречащими высказываниями нет ничего среднего, т.е. третьего высказывания. По способу ведения доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

1) Доказательство большинства теорем – прямое доказательство - строится как цепь силлогизмов и основано на законе силлогизма.

2) Косвенное доказательство от противного: предполагают, что заключение теоремы неверно; затем выводят следствия из этого предположения до тех пор, пока не получится противоречие с известным предложением; тогда на основании закона противоречия делают вывод, что отрицание того, что нужно доказать, ложно и, значит, на основании закона исключенного третьего, истинно то, что требуется доказать.

3) Косвенное доказательство на основании закона контрапозиции: если доказательство данной теоремы вызывает трудности, вместо нее доказывают теорему, противоположную обратной.

4) Косвенное доказательство с помощью контрпримеров - для доказательства ложности какой-либо теоремы (часто обратной данной); чтобы убедиться в ложности суждения, достаточно привести один пример, где бы это суждение было ложным. Например, утверждение обратное свойству ромба, «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то это – ромб» ложно, т.к. легко построить четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, а ромбом он не является.

5) Косвенное доказательство теоремы существования - указание способа конструирования примера объектов, о которых говорится в теореме.

6) Прямое доказательство теоремы - тождестве (или формулы) проводится одним из следующих преобразований: а) одной части равенства до тех пор, пока не получится вторая, б) обеих частей до тех пор, пока не получится верное равенство или известное тождество, в) разности частей, пока не получится нуль, г) известного тождества, пока не получится то равенство, которое нужно доказать.

В следующей лекции мы рассмотрим также специальные методы доказательства, основанные на свойствах математических объектов.

Дедуктивный метод применяется в обучении математике не только в доказательствах теорем. Дедукция как метод обучения включает в себя: а) расширение дедуктивной системы математики включением в нее все новых предложений; б) применение теории (различных предложений, определений, общих методов решения задач) к решению частных математических и учебных задач; в) обучение дедуктивным умозаключениям, правилам вывода, и методам доказательства теорем.

3.1.3. Различают два основных вида индуктивных умозаключений: неполную и полную (совершенную, формальную (аристотелеву) индукцию.

Неполной индукцией называется такое умозаключение, в котором вывод делается на основании только части всех случаев, согласующихся с обобщением, при условии, что нет ни одного случая, который ему противоречит. Вывод по неполной индукции вероятностный, он может быть истинным или ложным. Поэтому неполная индукция не применяется при изложении математических теорий, но она имеет место при их возникновении и развитии, в творчестве математиков, в процессе обучения.

Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором вывод делается на основании рассмотрения всех без исключения частных случаев. В названии этого вида индукции отражены её достоинства: «совершенная» означает, что она дает безупречные, совершенные выводы; «формальная» означает, что она может быть методом доказательства: если нужно доказать теорему относительно понятия А и дать единое доказательство невозможно, то родовое понятие разбивается на видовые А, А…А, полностью исчерпывающие объем родового понятия А; затем отдельно доказывается истинность теоремы для А, А...А, и, опираясь на эти частные суждения, утверждается правильность доказываемой теоремы относительно А. Примеры: теорема косинусов, теорема об измерении вписанного угла.

Термин «индукция» употребляется также в следующих его значениях: а) индукция как метод исследования предполагает переход от знания менее общих к знанию более общих положений; б) индукция как форма изложения информации, когда от менее общих, единичных частных положений идут к общим выводам. В этих значениях индукция используется в преподавании, особенно в младших классах, как конкретно-индуктивный метод обучения, дающий возможность наводить учащихся на открытие и формулировку нового для них предложения и играющий, таким образом, эвристическую роль. Учитель должен нетолько обучать индуктивным умозаключениям и их применению, но и стоять на страже правильности индуктивного вывода, доводить до сознания учащихся несовершенство индуктивных умозаключений, приводя примеры неверных выводов по неполной индукции, даже при использовании полной индукции следить за тем, чтобы были исчерпаны все возможные случаи.

3.1.4. Различают несколько видов аналогии: 1) простая аналогия (по сходству объектов в некоторых признаках заключают о сходстве их в других признаках); 2) распространенная аналогия (из сходства явлений делают вывод о сходстве причин). В свою очередь простая и распространенная аналогия может быть а) строгой (при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости); б) нестрогой (признаки сравниваемых объектов не находятся в явной зависимости).

Общим для выводов по аналогии является то, что во всех случаях непосредственному исследованию подвергается один объект, а вывод делается о другом, т.е. совершается перенос информации с одного объекта на другой. Первый из них в этом случае называют моделью, а второй – оригиналом. Исходя из этого, аналогию можно определить как отношение между любой моделью и её оригиналом, как вывод от _k модели к оригиналу. Моделирование - более широкое понятие, включающее в себя выводы по аналогии, в метод моделирования включается сам процесс построения модели или нахождение его в природе. Важным этапом моделирования считается исследование построенной модели, получение с её помощью необходимой информации и практическое использование в умозаключении от модели к оригиналу.

Аналогия (как дедукция и индукция) является и методом научного исследования, и методом обучения. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к. более или менее правдоподобным предпо­ложениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть, затем подтверждены или опровергнуты более строгими рассуждениями. При изложении математических теорий аналогия не применяется, однако существуют случаи, когда аналогия достигает точности математического понятия: изоморфизм и гомоморфизм. Установив изоморфность двух или нескольких систем, объектов, мы можем перенести любое предложение, справедливое для одной из этих систем, на другую систему объектов, и, детально изучив одну из них, можно не проводить этого изучения для другой. Ярким примером служит аналитическая геометрия, в которой изучение геометрических фигур и их свойств сводится к изучению определенных аналитических соотношений над числовыми объектами.

Аналогия как метод обучения используется, во-первых, как эвристический фактор: для предположительных заключений (гипотез), справедливость которых должна быть доказана; при поиске определения нового понятия; при поиске способа (приема) доказательства теоремы или решения задачи. При этом нужно приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии, в чем им может помочь такой прием деятельности:

1) сравнить изучаемые объекты с какими-либо известными ранее;

3) сформулировать об известных объектах одно или несколько известных суждений (свойств);

3) выделить свойства, отличающие изучаемые объекты от известных;

4) сформулировать сходное суждение об изучаемых объектах с учетом их различий с известными.

Во-вторых, как источник ассоциаций, аналогия обеспечивает более глубокое и прочное усвоение и запоминание изученного (например, свойства сложения и умножения, уравнений и неравенств, плоских и пространственных фигур и т.п.). Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии.

В-третьих, аналогия, как неполная индукция, не всегда надежна, многие математические ошибки учащихся объясняются неверными заключениями по аналогии (например, сокращение слагаемых в числителе и знаменателе дроби, неправомерное распространение распределительного свойства умножения на всевозможные операции - нахождение синуса или логарифма суммы). Это не означает, что нельзя давать учащимся ошибаться. Безошибочные ответы на вопросы учителя необходимы только в репродуктивной деятельности, а в творческой, исследовательской ошибки неизбежны. Поэтому, обучая учащихся правильно пользоваться умозаключениями по аналогии, находить и исправлять ошибки в одних предложениях и доказывать другие, подчеркивая истинные аналогии и разрушая ложные, можно развивать творческое мышление.

3.1.5. Традукция, как рассуждение без обобщений, без логической обязательности, не используется и в науке, и в преподавании, оно характерно для детей дошкольного возраста, мышление которых находится на стадии опыта, рассуждений о единичных или специальных случаях и отсутствия обобщения.

3.2. Говоря о соотношении индуктивных и дедуктивных методов обучения математике, отметим, что в математике как дедуктивной науке преобладают дедуктивные умозаключения, особенно в доказательствах, составляющих важнейшую часть математической теории. Но индукция и аналогия, частные случаи так называемых правдоподобных умозаключений, хотя и не применяются для изложения математических теорий, играют положительную эвристическую роль, как в самой математике, так и в её преподавании: они наиболее доступны и понятны для начинающих изучать математику; наблюдение и опыт вообще в жизни отдельного человека, так и всего человечества, на первых порах являются единственным источником познания.

В школьном обучении математике по сравнению с математической наукой удельный вес индуктивных методов значительно возрастает, что определяется психологическими особенностями школьников, невысоким начальным уровнем познавательных возможностей детей, постепенным и длительным процессом формирования их интеллекта.

В процессе обучения математике индукция и дедукция не изолированы, а, напротив, взаимосвязаны, соотношение между ними зависит от возраста учащихся. В младших классах значительное место занимает математическая интуиция, догадка, основанная на зрительном впечатлении и некотором, уже накопленном запасе знаний, индуктивный метод рассуждений. Роль дедукции должна возрастать с известной постепенностью, дедуктивные доказательства как самостоятельный элемент математической теории должны появиться лишь тогда, когда изучаемый материал даст школьникам возможность осознать их необходимость. Программа по математике создает благоприятные условия для того, чтобы на протяжении достаточного времени воспитать потребность в дедуктивных доказательствах, выработать правильное представление о строении дедуктивной научной теории. По мере накопления устанавливаемых индуктивным путем математических истин постепенно устанавливаются различные существующие между ними связи, из истинности одних предложений необходимо следует истинность других. Одновременно с этим нужно показывать, что эти источники знаний могут привести к ложным суждениям, что индукция без дедукции не может привести исследование некоторого факта к вполне достоверным выводам. Усиливая постепенно элементы дедукции в рассуждениях, учащихся подводят к дедуктивному методу рассуждений. Дидактически правильное, оптимальное сочетание индуктивных и, дедуктивных методов имеет важное значение для успеха обучения математике и эффективного развития мышления учащихся.

3.3. Методика обучения учащихся доказательству теорем и изучения конкретных доказательств теорем опирается, с одной стороны, на раскрытые выше принципы сочетания индуктивных и дедуктивных методов, с другой – на общие закономерности психологии изучения математического материала, рассмотренные в предыдущих пунктах по отношению к методике формирования понятий и суждений. Три ступени понимания математических рассуждений определяют три этапа работы над доказательством теоремы.

На первом, подготовительном этапе используются следующие методические приёмы:

1) повторение ранее изученных теорем и методов их доказательства, если они как-то связаны с доказательством новой теоремы;

2) рассмотрение примеров, убеждающих в необходимости доказательства сформулированной теоремы;

3) определение метода доказательства по виду теоремы;

4) решение задачи, близкой по методу доказательства (или его структуре, или его идее) к данной теореме, доказательство леммы;

5) выполнение практической или лабораторной работы, в ходе которой «открывается» метод доказательства теоремы;

6) использование аналогии с целью выбора метода доказательства;

7) изучение и осмысление чертежа или модели по содержанию теоремы с целью установления связей между его элементами, которые можно было бы использовать в доказательстве;

8) использование приемов поиска доказательства: а) преобразование условия теоремы с целью его сближения с заключением (при синтетическом методе доказательства), б) преобразование заключения теоремы с целью его сближения с условием, в) замена понятия, содержащегося в условии или заключении теоремы, его определением, г) выбора того определения понятия, которое подсказывает (и сокращает) путь рассуждений, д) замена определения понятия его признаком, е) полное использование условия теоремы;

9) общий анализ доказательства, рассмотренный в лекции 9;

10) если возможно, разбиение теоремы на части или частные случаи и поиск доказательства отдельных частей;

11) составление плана (схемы) доказательства.

На втором этапе осуществляется доказательство и его запись с использованием соответствующей символики; методические приёмы:

1) все этапы доказательства выделять согласно составленному плану (схеме) и методу доказательства;

2) логически обосновывать отдельные умозаключения, чему способствует, в частности, и правильная запись;

3) правильно реализовывать приемы поиска доказательства, ставшие на этом этапе правилами доказательства.

На третьем этапе, с целью закрепления доказательства и обучения доказательству в процессе обучения, используются методические приёмы:

1) анализ и обобщение метода доказательства и его основной идеи;

2) выведение следствий из теоремы;

3) повторение идеи, схемы, плана доказательства;

4) доказательство (на следующем уроке и последующем повторении) при другом расположении чертежа (в целом или его деталей);

5) в домашней работе - превращение сокращенного книжного доказательства в развернутые цепочки силлогизмов, что дополнительно помогает раскрыть и понять логический механизм доказательства, структуру умозаключений, процесс конструирования доказательства из силлогизмов;

6) доказательство теоремы другими методами, поиск различных методов доказательства;

7) решение задач на доказательство с использованием данной теоремы и метода её доказательства;

8) самостоятельное доказательство теорем, связанных с данной (обратной, противоположной, аналогичной) и сформулированных в виде задач на доказательство.

В заключение, обобщая все сказанное выше, сформулируем кратко общую методическую схему изучения теорем в виде следующей последовательности действий учителя:

1) подготовка учащихся к восприятию теоремы и её доказательства;

2) изучение содержания и структуры теоремы;

3) организация поиска доказательства теоремы;

4) проведение доказательства и его оформление;

5) анализ и обобщение информации, полученной в результате изучения теоремы – теоретическое закрепление;

6) упражнения в практическом применении теоремы. Обучение математическому доказательству требует постепенного ознакомления учащихся и ссущностью дедуктивной системы, и с её реализацией при построении математической дисциплины.