Операции мышления как методы обучения математике

В предыдущих лекциях мы не раз отмечали связь методики математики с психологией: необходимость учитывать в обучении закономерности мыслительной деятельности, изучаемые психологией; сущность деятельностного подхода к обучению (лекции 1-2); роль приемов учебной деятельности в обучении математике (лекции 4-7). Теперь рассмотрим их в качестве методов обучения математике.

1.1. Анализ и синтез играют важную роль как методы научного исследования в математике и её изучении.

В первоначальном понимании анализ рассматривался как путь мышления от целого к частям этого целого, а синтез – как путь мышления от частей к целому. Например, при помощи анализа сложная задача расчленяется на ряд простых задач, а затем с помощью синтеза происходит соединение решений этих простых задач в единое целое. Затем анализ стали понимать как операцию мышления, с помощью которой от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как операцию мышления, с помощью которой от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной. Психологи утверждают, что закономерности, присущие этим процессам, в их взаимоотношении друг с другом представляют собой основные закономерности мышления.

Психологические исследования показывают, что анализ выступает в различных видах и формах. Так, Н.А. Менчинская различает: элементарный (бессистемный) анализ, комплексный (системный), предвосхищающий анализ, специальный анализ искомого и данных, анализ функциональных связей. С.Л. Рубинштейн различает две формы анализа: а) анализ типа «фильтр», когда человек, решающий задачу действует без всякой видимой системы, отсеивает одну за другой не оправдавшие себя пробы решения, опирается на догадку (которая, таким образом, опирается на анализ); б) направленный анализ через синтез, когда анализ определяется и направляется к определенной цели через синтетический акт соотнесения условий с требованиями поставленной задачи. С.Л. Рубинштейн считает анализ через синтез основной формой анализа, основным нервом процесса мышления: «объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все новое содержание; он как бы поворачивается каждый раз другой своей стороной, в нем выделяются все новые свойства. Синтезом в этом случае является всякое соотнесение, сопоставление, всякое установление связи между различными элементами, соединение тех компонентов, на которые был расчленен познаваемый объект в анализе». [99]

Рассмотрим теперь, какие формы принимают анализ и синтез в математике и её преподавании.

1.1.1. Аналитический и синтетический методы доказательства теорем известны с древних времен. Аналитический метод доказательства заключается в том, что, отправляясь от заключения и опираясь на известные предложения, показывают, что заключение является логическим следствием условия; рассуждают от неизвестного к известному, от искомого к данным. Здесь существуют две разновидности: а) восходящий анализ, б) нисходящий анализ.

При восходящем анализе ведущим вопросом является: «что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?» Таким образом, для доказываемого утверждения последовательно подбирают достаточные основания, от следствия «восходят» к основанию. Например, известное доказательство свойства: среднее арифметическое двух неравных положительных чисел больше их среднего геометрического. Достоинства восходящего анализа: а) рассуждение имеет отправной пункт, мотивируется каждый его шаг, в процессе доказательства развертывается осознаваемый учащимися план рассуждений; б) усиливается эвристический элемент, учащиеся принимают активное участие в создании, доказательства; в) если доказательство пойдет другим путем, то восходящий анализ дает один из ключей к его созданию. Недостатки: а)восходящий анализ не является безотказным для отыскания доказательства, т.к. для каждого высказанного предложения можно подобрать несколько оснований и доказательство может пойти не по тому пути; б) некоторые ограничения на его применение накладывает то обстоятельство, что школьные курсы математики являются синтетическими, не каждое доказательство излагается аналитически.

При нисходящем анализе рассуждение начинается с предположения: «временно допустим, что предложение, которое нужно доказать, установлено; вопрос: что отсюда следует?» Опираясь на допущение и доказанные раньше теоремы, выводим одно или несколько следствий, из этих следствий – следующие до тех пор, пока не получим некоторого следствия, которое или противоречит одному из известно предложений, или является известным предложением. В первом случае необходимо заключить, что доказываемое предложение ложно; во втором – наметился план доказательства данной теоремы (но ещё не доказательство, т.к. из ложного высказывания тоже можно получить верное). Достоинства нисходящего анализа: а) он имеет преимущества перед восходящим анализом в отношении поиска плана доказательства, т.к. учащиеся делают переход от предложения к следствию легче (это привычнее), чем от предложения к его обоснованию; б) широко используется в учебном процессе в качестве педагогического метода Сократа: при появлении неверного утверждения со стороны ученика, учитель, не отклоняя этого предложения, ставит ученику целесообразно подобранные вопросы и в результате подводит его к явному противоречию с известным предложением; затем вскрывается ошибочность первоначального утверждения ученика. Например, при утверждении, что признаком равенства треугольников является равенство соответствующих трех пар углов, Достаточно в качестве примера привести два Равносторонних треугольника с разной длиной стороны.

Синтетический метод доказательства заключается в том, что, отправляясь от условия и пользуясь известными предложениями, получают заключение как логическое следствие условия; рассуждают от известного к неизвестному, от данных к искомому. Например, та же теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом доказывается, начиная с утверждения: «квадрат разности двух неравных чисел есть число положительное». На этом примере сразу видны недостатки метода: а) доказывающий теорему не может мотивировать, на каком основании взяты те или иные положения за исходные, сделаны те или иные преобразования, и только в последний момент видна целесообразность доказательства, поэтому синтетические доказательства для начинающих изучать математику кажутся искусственными и, следовательно, в чистом виде мало удобны для обучения; б) в распоряжении доказывающего нет критерия выбора пути доказательства и тех предложений, которые нужно использовать дальше, он может пойти неправильным путем и не достигнуть цели; таким образом, синтетический метод не пригоден как метод поиска доказательства; в) применение чисто синтетического метода изложения доказательства на уроке неизбежно приводит к использованию лекционного метода, что ограничивает активность учащихся. Достоинства: а) если синтетическое рассуждение исходит из верных утверждений и с логической точки зрения безупречно, то оно приводит к верному выводу; синтетическим методом теорема доказывается или отвергается; б) синтетическое изложение доказательства отличается исчерпывающей полнотой, сжатостью и краткостью, а поэтому удобно для представления в печатном виде; в) синтетический метод уместен в логически нетрудных теоремах и простых задачах, где нет необходимости особо искать план и способ доказательства, потому что они очевидны (анализ здесь может присутствовать в скрытом виде и не осознаваться).

Таким образом, недостатки анализа являются преимуществами синтеза и наоборот, поэтому оба метода в обучении применяются совместно, они неизменно связаны и взаимодействуют. В поиске доказательства первенствует анализ, но он скрывает в себе синтез; в изложении доказательства и в простых теоремах первенствует синтез, но он скрывает в себе анализ. Поэтому анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод.

1.1.2. Аналогично используются анализ и синтез при решении задач на доказательство и вычисление, при условии, что учащимся неизвестен алгоритм или специальный прием их решения (или таковой вообще не существует, как в нестандартных задачах). В этом случае обший анализ состоит в стремлении свести данную задачу к совокупности подзадач, до тех пор, пока не получится набор элементарных задач (т.е. задач, решаемых за один шаг поиска или решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач, а синтез - в объединении решений подзадач в единое целое. Очевидно, что если данная задача «элементарная», то она может быть сразу решена синтетическим методом. В математике и ее преподавании используются также специальные виды нисходящего анализа – геометрический и алгебраический анализ.

1.1.3. Анализ при решении геометрических задач на построение, так называемый анализ древних или классический анализ состоит в следующем:

1) предположить, что задача решена и выполнить эскиз;

2) рассмотреть эскиз, выделить данные и искомые элементы, установить зависимость между ними, если нужно, сделать дополнительные построения;

3) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить простейшие геометрические построения, чтобы по данным элементам построить искомую геометрическую фигуру.

Синтез в этом случае – в выполнении построений по намеченному плану. Например, задача: построить параллелограмм по стороне, высоте, опущенной на эту сторону и диагонали.

1.1.4. Анализ при решении текстовых задач алгебраическим методом, так называемый алгебраический анализ состоит в следующем:

.1) выделить в условии задачи величину (две или более), которую удобно обозначить (принять) за неизвестное;

2) выразить все величины, входящие в условие задачи (и связанные между собой с помощью формул, законов и т.п.), через данные задачи и выбранное неизвестное (два и более);

3) на основе условия задачи установить равенстве (два и более) между полученными алгебраическими выражениями одноименных величин.

Синтез в этом случае состоит в решении полученного уравнения (или системы уравнений) и переводе решения на язык данной задачи.

1.2. Сравнение – мысленное установление сходства или различия, изучаемых объектов.

О роли сравнения в познании свидетельствует известный афоризм: «все познается в сравнении», сравнение помогает пониманию и открытию нового, т.к. оно сводит неизвестные отношения к известным, облегчает изучение сходных вопросов. Различают две основные формы сравнения:

а) сопоставление (выделение существенных признаков, общих ряду объектов, установление сходства, сравнение в одном направлении) и

б) противопоставление (выделение несущественных признаков, от которых следует отвлечься при выделении существенных, установление различия, сравнение по разным признакам и в разных направлениях).

Использование метода сравнения в обучении должно подчиняться следующим требованиям: 1) сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом, т.е. сравнение должно иметь смысл; например, можно сравнивать функции, однородные величины, но не имеет смысла сравнивать периметр треугольника с массой тела; 2) сравнение должно проходить планомерно с четким выделением тех свойств, по которым в определенной системе проводится сравнение; 3) сравнение по одним и тем же свойствам объектов должно быть полным, доведенным до конца.

Из определения сравнения следует, что выделение общего и различного осуществляется в ходе анализа, сопоставление – в ходе синтеза; т.о., сравнение основывается на анализе и синтезе и зависитот них. На этом основан один из основных приёмов обучения сравнению – варьирование понятий, признаков, условий, требований, обозначений и т.п., существенных или несущественных в зависимости от формы сравнения. Например, построение определения окружности и сферы, изучение приемов решения линейных и квадратных уравнений.

Сравнение подготавливает почву для обобщения. При обобщении выявляют какое-нибудь свойство, общее для сравниваемых объектов и объединяющее эти объекты воедино. При этом общие свойства различают двух видов: сходные и существенные (в данном случае, с. точки зрения математики) признаки. Всякое существенное сходство является вместе с тем и общим для данной группы однородных объектов, но не наоборот (например, цвет для геометрической фигуры). Отсюда - две формы обобщения: а) первичное, эмпирическое обобщение посредством соотнесения и выделения общего в двух или нескольких различных объектах или явлениях и б) высшая форма научного обобщения, основанного на выделений существенных свойств объектов или явлений. К тем и другим обобщениям приходят путем анализа, выделяющего - существенные свойства, в обобщениях второй формы существенную роль играют также синтез, индукция и абстрагирование.

Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему. Это – один из основных путей расширения математических знаний, предпосылка и результат понятийного и структурного мышления. Роль обобщения в обучении математике не только в том, что оно составляет сущность математики, это - необходимый этап полного цикла учебно-познавательной деятельности учащихся по усвоению знаний. Обобщение позволяет сокращать количество необходимой человеку информации, заменяя знание множества сходных случаев знанием общего принципа. При этом необходимо не только знать содержание обобщения, но и уметь подвести каждый частный случай под общее правило; другими словами, более общим понятиям, законам, задачам должны соответствовать более общие способы действий по их усвоению (обобщенные приемы учебной деятельности учащихся).

Как отмечалось, прием деятельности называется обобщенным, если он получен на основе анализа частных приемов путем выделения общего, инвариантного содержания деятельности по решению конкретных задач. После обобщения частный прием выступает как вариант общего, частные приемы определенной группы могут быть получены из общего варьированием его составляющих. Один обобщенный приём заменяет несколько частных, которые в обучении являются средством усвоения сущности учебной деятельности, раскрываемой в обобщенном приёме. Обобщение знаний и приемов деятельности лежит в основе их переноса, который является важнейшим признаком умения мыслить.

Одним из приемов обучения обобщению, как и сравнению, является варьирование несущественных признаков (понятий, свойств, фактов, приемов деятельности, действий в составе приема) при постоянстве существенных, а также выполнение других заданий на обобщение.

1.3. В процессе познавательной деятельности человек отражает объекты и явления действительности в форме чувственных образов или в форме понятий, являющихся их приближенными снимками. Понятия образуются в сознании человека в результате отвлечения от несущественного в изучаемом объекте, а также в результате обобщения, упрощающего изучение данного объекта, обычно представленного в реальном мире весьма многообразно. Эти умственные построения в процессе познания называют научными абстракциями, построением абстрактных моделей реальных объектов. Они же вводят учащихся в круг идей, которые составляют предмет изучения математики, и, следовательно, абстрагирование является и методом обучения. С точки зрения психологии (С.Л. Рубинштейн), абстракция, по существу, специфическая форма анализа, которую он приобретает при переходе к абстрактному мышлению в понятиях.

Абстрагирование, как анализ и обобщение, может выступать в двух различных формах: а) при чувственном познании предмета отвлечение от одних свойств и выделение других; б) выход за пределы чувственного и преобразование отобранных свойств объектов или явлений (абстракция второй ступени). Как уже отмечалось, для математики характерны многоступенчатые абстракции, прогресс в математике – способность подняться немного выше в область абстракции. В истории математики можно выделить три этапа в развитии абстракции: 1) Абстрагирование от конкретной, качественной природы объектов; на этом этапе возникли понятия числа и фигуры, что привело созданию арифметики и геометрии. 2) Абстрагирование от конкретных чисел и величин; на этом этапе введена буквенная символика и возникла алгебра. 3) Абстрагирование от конкретных зависимостей между изучаемыми объектами, от конкретной природы отношений; на этом этапе возникло понятие операции, осуществился переход к современной математике. Эти три этапа определяют соответственно три уровня абстрагирования в обучении математике.

Процессу абстрагирования противоположен процесс конкретизации. Кон­кретизация – это иллюстрация понятий, законов, правил, приемов деятельности и т.д. примерами в виде живых объектов, наглядных пособий, отдельных частных случаев, лабораторных опытов и демонстраций и т.п., т.е. применение обобщенного абстрактного знания к конкретному случаю. Примерами конкретизации служат: приведение любых примеров данного понятия или его свойства, составление конкретных задач по данной формуле, построение моделей абстрактных понятий и их свойств.

1.4. Заключительными процессами полного цикла учебно-познава­тельной деятельности учащихся в процессе обучения, как уже отмечалось, являются классификация и систематизация изученного (лекция 1, п.2.4).

Классификацией называется отнесение единичного объекта или явления к соответствующей общей группе на основе общих и существенных признаков, распределение предметов и явлений определенного типа по группам и подгруппам в зависимости от их сходства и различия. Это – производная от сравнения и более сложная мыслительная операция, её использование в обучении должно подчиняться следующим требованиям: 1) классификация должна быть полной, исчерпывающей, т.е. каждый рассматриваемый объект должен попасть в один и только один класс; 2) классификация должна проводиться по существенному признаку, ее трудности растут при увеличении числа признаков, по которым она может быть проведена; 3) одновременно классификация проводится только по одному основанию; 4) классы должны быть непересекающимися; 5) классификация должна быть непрерывной, без «скачков», т.е. не пропускать никаких существующих подгрупп.

Часто классификация состоит из многоступенчатого разбиения множества объектов на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление или «дихотомия»). Разновидностью классификации является специализация - переход от рассмотрения данного множества объектов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном (например, от множества многоугольников к множеству треугольников, от него - к множеству правильных треугольников).

Систематизацией называется соединение отдельных, бывших до этого разрозненными признаков понятий или ряда соотносящихся понятий, группировку предметов или явлений не только по сходству их основных признаков с такими же предметами и явлениями целого класса, но и выделение в этой группе более мелких подгрупп, разрядов, видов. Систематизация основывается на анализе и обобщении, она связана с классификацией, но отличается от нее. Конечный результат классификации – установление принадлежности единичного объекта или явления к определенному роду, закону или правилу; конечный результат систематизации – образование целой группы объектов или явлений.

Выполнение систематизации подчиняется следующим требованиям: 1) необходимо определить признак или принцип, – основание систематизации; 2) основание систематизации в конкретном случае должно быть единственным; 3) систематизировать нужно все данные объекты или весь данный материал. Примером систематизации служит расположение учебного материала по математике в каких-либо определенных дидактических системах, которые учитель и помогает учащимся понять и усвоить.