Математические суждения и методика их изучения

Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями и, тем самым, между объектами, охватываемыми этими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то они называются истинными, в противном случае – ложными. Суждение имеет свою языковую оболочку – предложение, но не всякое предложение является суждением; характерным признаком суждения является обязательно наличие истинности или ложности в выражающем его предложении. Логика различает следующие виды суждений: а) общие (обо всех элементах некоторого множества объектов), б) частные (о некоторых из них), в) единичные (об одном из них). Суждения можно разделить еще на утвердительные и отрицательные; комбинируя эти два деления, получают общеутвердительные, частноотрицательные и т.д. суждения. Каждое из них оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах конкретной науки.

Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных научных суждений и для выявления логической структуры операций с ними. Формальная логика возникла еще в глубокой древности в трудах Аристотеля, но существовала необходимость усовершенствования ее языка. Это было сделано в XIX в. с возникновением в работах английского математика Дж. Буля математической логики, так как математический язык оказался для этого наиболее подходящим. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов, и логические связи, которые существуют между понятиями, суждениями и т.д. находят свое выражение в формулах. В математической логике пользуются термином «высказывание», имеющим смысл, близкий к понятию «суждение». Над высказываниями производятся следующие основные операции: 1) конъюнкция (или логическое произведение) - высказывание, составленное из двух других с помощью союза «и» (обозначение ), оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложно во всех остальных случаях; 2) дизъюнкция (или логическая сумма) высказывание, составленное из двух других с помощью союза «или» (обозначение ); оно истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний и ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания; 3) импликация (или логическое следование) - высказывание, образованное соединением двух других словами «если…, то…,», «следовательно» (обозначение ), оно ложно только в том случае, когда р - истинно, a q - ложно, и истинно во всех остальных случаях; 4) эквивалентность (или равносильность) - высказывание, образованное соединением двух других словами «тогда и только тогда», «если и только если», «в том и только в том случае» (обозначение ); оно истинно тогда и только тогда, когда составляющие его высказывания оба истинны или оба ложны; 5) отрицание – высказывание, образованное из другого с помощью частицы «не» (обозначение ); оно истинно, когда данное высказывание ложно, и наоборот.

2.2. Математика, как все науки, представляет собой определенную систему суждений о математических объектах, которые называют математическими предложениями. Принадлежность предложения некоторой математической теории определяется двумя признаками: а) предложение записано (или сформулировано) на языке данной теории, состоит из математических (принадлежащих языку теории) и логических терминов или символов; б) предложение истинно, т.е. является исходным истинным предложением данной теории, или его истинность устанавливается доказательством. С каждым математическим предложением связаны его содержание и структура, неразрывно связанные между собой. Рассмотрим основные виды математических суждений.

2.2.1. Аксиома (от греческого слова, означающего «то, что приемлемо») – предложение, принимаемое без доказательства ( егоистинность допускается). Аксиомы конкретной математической теории образуют систему, описывающую свойства основных понятий данной теории и лежащих в основе доказательств других предложений. К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются, как известно, требования независимости, непротиворечивости, полноты. Таким образом, основные (неопределяемые) понятия и аксиомы составляют фундамент математической теории.

Аксиомы зародились в геометрии Евклида, который наряду с этим понятием использовал еще понятие постулата. Постулат - (от латинского – «требование») – предложение, выражающее некоторое требование, которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

2.2.2. Теорема (от греческого слова, означающего «рассматриваю, обдумываю») – предложение, истинность которого доказывается, т.е. устанавливается как логическое следствие других предложений, принимаемых за истинные или доказанные раньше. Каждая теорема содержит в себе условие (то, что известно о рассматриваемых в ней объектах) и заключение (то, что об этом объекте утверждается и требует доказательства). Однако не все теоремы имеют такую «условную» форму, в которой четко разграничены условие и заключение. Формулировку теоремы, не использующую слов «если..., то...», называют категорической; она отличается лаконичностью и иногда удобна, но часто вызывает затруднения и ошибки учащихся.

С помощью теорем происходит изучение понятий, их свойств, отношений между ними, что и составляет математическую теорию. Теоремы этой теории связаны между собой, истинность или ложность одних влечет за собой истинность или ложность других, что облегчает их понимание и усвоение. Эти связи основаны на рассмотренных выше операциях над высказываниями и определяют основные виды теорем в математике.

2.2.3. Большинство теорем представляет собойимпликацию двух высказываний (), т.е. имеют одно условие и одно заключение и называются простыми теоремами. Из простой теоремы (называемой в этом случае прямой) можно образовать несколько новых: обратную () – импликацию В и А, противоположную () –импликацию отрицания В и отрицания А, противоположную обратной () – импликацию отрицания В и отрицания А.

Если теорема имеет несколько условий, или несколько' заключений, или несколько условий и заключений, то она называется сложной. Это – импликация конъюнкций высказываний, имеющая вид: или или . Такимобразом, каждая сложная теорема может быть представлена в виде нескольких простых (например, теорема о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла прямоугольного треугольника на гипотенузу).

2.2.4. Важные частные случаи простых и сложных теорем: 1) следствие - теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы; 2) лемма - теорема, представляющая интерес только как ступень к доказательству другой теоремы; 3) необходимое и достаточное условие – теорема, объединяющая в одной формулировке с использованием слов «необходимо и достаточно» прямую и обратно теоремы (); 4) теорема существования - теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами (например, теорема существования параллельных прямых); 5) теорема- тождество и теорема-формула – теоремы, выраженные языком математических символов; 6) к теоремам можно отнести и задачи на доказательство.

2.3. Традиционная методика преподавания математики не разъясняла учащимся логику изучаемого материала. Однако исследования психологов и педагогов в 60-70 годы показали, что одна тренировка в логических рассуждениях без понимания того, как рассуждаем, не приводит к развитию логического мышления; что логические понятия и действия, формируемые у ребенка стихийно, как правило, неполны и часто искажены; что логическим понятиям и действиям нужно специально обучать. Поэтому одно из современных требований к методике обучения математике состоит в том, чтобы показывать учащимся структуру теорем, учить определять вид теоремы, выделять условие и заключение, использовать в записи теорем элементы математической логики.

С понятиями «аксиома» и «теорема» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 7-го класса после того, как они познакомятся с первыми теоремами и изучат их доказательства, что дает возможность конкретизировать эти понятия. Аксиомы планиметрии, понятие о системе аксиом, лежащей в основе курса и о его логическом строении, появляются в курсе геометрии постепенно. Эти положения обсуждаются еще раз в начале систематического курса стереометрии, где также можно дать учащимся представление о различных системах аксиом. В этой последовательности просматриваются все три этапа изучения математического материала вообще. Эти же этапы (подготовительный, основной, закрепление) должны присутствовать и в методике изучения каждой конкретной теоремы как математического суждения.

На первом этапе, цель которого – подготовка к восприятию теоремы, можно использовать следующие методические приёмы:

1) обзор исторических причин или потребностей практики, приводящих к появлению данного утверждения;

2) решение с той же целью практических, профессиональных, исторических и т.д. (подводящих) задач;

3) практическая или лабораторная работа исследовательского характера, приводящая к гипотезе о том или ином свойстве понятия, которое затем нужно сформулировать и доказать (например, теорема о сумме внутренних углов треугольника);

4) самостоятельное «открытие» нового свойства с помощью вычислений или преобразований (например, теорема Виета);

5) повторение тех теорем, на которые будет опираться новая теорема;

6) упражнения на применение ранее изученных теорем.

На втором этапе, цель которого – изучение содержания теоремы, используются следующие методические приёмы:

1) выделение условия и заключения «открытой» теоремы, ее формулировка в условной форме;

2) иллюстрация к содержанию теоремы (модель, чертеж, рисунок, схема);

3) краткая запись содержания теоремы с опорой на чертеж и с использованием необходимой символики;

4) определение вида теоремы, анализ ее логической структуры;

5) упражнения на самостоятельное формулирование теоремы, ее переформулирование в более удобной форме;

6) рассмотрение частных и особых случаев, если они имеются.

На третьем этапе, который, как правило, будет после доказательства, с целью закрепления знания о содержании новой теоремы и установление ее связей с другими теоремами данной темы или теории, используются следующие методические приёмы:

1) построение «родословной» новой теоремы;

2) показ места и роли изученной теоремы в данной теме или теории;

3) рассмотрение практических приложений теоремы;

4) обобщение теоремы, если оно возможно;

5) решение задач на применение новой теоремы;

6) повторение на последующих уроках формулировки изученной теоремы и связанных с ней предложений;

7) упражнения на систематизацию теорем.