Уравнения параболического типа.

Еще один пример использования конечных разностей – уравнение диффузии.

Это уравнение параболического типа. Явная разностная схема для этого уравнения имеет вид

Эта разностная схема устойчива, если . Для краткости в дальнейшем мы будем обозначать весь множитель, стоящий перед скобкой, как k.

Задаем коэффициент
и диапазон изменения пространственной и временной координат:

Задаем начальные и граничные условия

Уравнение в конечных разностях имеет вид

Представляем результаты на графике. (Для большей наглядности изображена только центральная часть)

Основное достоинство явных методов – их простота – зачастую сводится на нет достаточно жесткими ограничениями на величину шага. Явные схемы обычно устойчивы при столь малых шагах по времени, что они становятся непригодными для практических расчетов. Этого существенного недостатка позволяют избежать неявные схемы. Свое название они получили потому, что значения искомой функции на очередном временном шаге не могут быть явно выражены через значения функции на предыдущем шаге.

Рассмотрим применение неявной схемы на примере уравнения теплопроводности

Запишем неявную разностную схему для этого уравнения

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

Здесь первый индекс соответствует пространственной, а второй – временной координате. В отличие от явной схемы, для вычисления в правой части уравнения используются значения функции на том же самом временном шаге. Вводя обозначение , уравнение можно переписать в виде

или в матричной форме

где .

Задаем количество узлов сетки (в данном случае оно одинаково для обеих переменных)

Задаем значения параметров

и начальное распределение температуры в области

Формируем матрицы уравнения

Находим решение системы