Задача про гідравлічний розрахунок мережі

В системах видобутку, транспорту і розподілу нафти і газу зустрічаються різноманітні за своїм призначенням і структурою мережі. Мережі, в яких продукт рухається в незмінному напрямі від початкової точки до споживача, називаються тупиковими. Мережі, які являють собою замкнену систему, а перекачуваний продукт на окремих ділянках може змінювати свій напрям руху на протилежний, називаються кільцевими. Поєднання тупикових і кільцевих мереж веде до утворення мережі змішаного типу. Прикладом кільцевої мережі може бути розподіл газу всередині міста, коли живлення здійснюється від декількох джерел.

Якщо розглядати систему магістральних трубопроводів, то вона, як правило, являє собою мережу певного виду.

При проектуванні і розрахунку мережі одним з найважливіших елементів є визначення потоків і тисків по мережі при деяких заданих умовах. Велику кількість розрахунків потрібно провести при виборі варіантів реконструкції мережі, під'єднанні нового споживача або групи споживачів.

Гідравлічний розрахунок тупикових мереж не викликає принципових труднощів. При закільцьованих мережах трудоємність зростає в багато разів і вимагає застосування обчислювальної техніки.

Як завжди при моделюванні, необхідно чітко ставити математичний опис об'єкта, при цьому вважаючи, що мережа однорідна, тобто складається з одинакових елементів (в даному випадку труб), сполучених один з одним.

Графи. Рівняння і граничні умови. Точки сполучення елементів, як і всі входи і виходи мережі будемо вважати вершинами, а елементи – ребрами. При цьому використовується термінологія, встановлена в теорії графів.

Теорія графів сформувалась в 70-х роках двадцятого сторіччя. В неї як складові частини ввійшли численні дотепні розв'язки ігор і головоломок. Перші з них одержані Л.Ейлером на початку ХVIII в. Теорія графів вивчає схеми, які можна зобразити на папері в вигляді кругів і відрізків, що їх з'єднують. З аналізом структури таких схем постійно стикаються при розв'язуванні задач на обчислювальних машинах.

В подальшому будуть використані деякі теореми і алгоритми теорії графів. Очевидно, що розвитком досліджень в галузі трубопровідних мереж, виникне потреба поглиблення знань цієї теорії, що в свою чергу поставить нові цікаві математичні завдання.

Якщо не піклуватись про математичну строгість визначення, то графом можна назвати сукупність об'єктів, частина з яких зв'язана між собою. Граф легко зобразити, позначивши об'єкти точками (або іншими фігурами), а зв'язки – відрізками ліній (рис.7.1).

B

A

a E

C

D

а б в

а – неорієнтований однозв'язковий; б - двозв'язковий; в – орієнтований.

Рисунок 7.1 – Графи.

Схема будь-якої трубопровідної мережі є графом. Графом може бути план міста: вершинами будуть плоші і перехрестя, а ребрами – вулиці.

Якщо на ребрах не вказані напрямки, граф називають неорієнтованим.

В орієнтованих графах (рис.7.1, в) ребра називають дугами, а напрям дуги вказують стрілкою.

Той чи інший термін використовується тоді, коли є зміст підкреслити орієнтацію графа. Говорять, що дуга a (рис.7.1, в) виходить з вершини С і заходить в вершину А. Щоб розрізняти напрям руху продукту ділянками мережі, зручно орієнтувати ребра. Стрілки розставляють довільно, незалежно від напряму руху, тим паче, що визначити апріорі істинний напрям руху не завжди можливо. Умовимось рахувати витрату позитивною, якщо рух відбувається в напрямі стрілки, і від'ємною, якщо проти стрілки.

При вивченні трубопровідних мереж можна обмежитись зв'язковими графами. Термін цей досить виразний і добре пояснюється рис.7.1. Двозв'язковий зображує дві трубопровідні мережі, кожну з яких можна розглядати окремо.

Отже, мережа зображається графом. Нехай граф має n вершин і m ребер. Кожна вершина характеризується тиском тиском p_i (i = 1, 2, …, n), кожна дуга – витратою q_j(j = 1, 2, …, m). Витрата, як вже зазначалось, може бути дотатньою або від'ємною, в залежності від того чи співпадає напрям руху з орієнтацією дуги.

Усталений ізотермічний рух по мережі повністю характеризується:

- рівняннями нерозривності (матеріального балансу);

- рівняннями збереження кількості руху.

Перша система складається з n рівнянь. Позначивши множину дуг, які заходять в i – ту вершину, - множина дуг, які виходять з цієї вершини, а - величина зовнішнього відбору. В випадку притоку до вершини i буде числом від'ємним.

Рівняння матеріального балансу встановлюють рівність притокам до вершини всіма трубами зовнішньому відбору:

(і = 1, 2, …, n). (7.1)

Величина q_i входить у ліву частину рівняння зі знаком “плюс”, якщо дуга j заходить в вершину і, і за знаком “мінус”, якщо дуга виходить з вершини.

Просумувавши всі n рівнянь (7.1), одержимо

(7.2)

Дійсно, кожна витрата q_i входить тільки у два рівняння системи (7.1): з знаком “плюс” у рівняння, яке відповідає вершині, куди дуга заходить, і з знаком “мінус” у рівняння, яке відповідає вершині, звідки дуга виходить. При сумуванні усі члени у лівій частині скоротяться.

Рівняння (7.2) зв¢ язує величини зовнішніх відборів q_i.

У загальному випадку рух стисливої рідини по мережі описується системою рівнянь у часткових похідних

(7.3)