Закон збереження маси

У цьому параграфі розглядається вивід рівняння нерозривності для різних випадків руху однорідної і неоднорідної рідини, який є математичним виразом закону збереження (постійності) маси. У загальному випадку руху швидкість , густина і тиск є функції координат , і , частинки, що рухається, і часу , тобто

; (2.18)

; (2.19)

. (2.20)

При цьому - швидкість рідини у кожній даній точці простору у момент часу , тобто вона відноситься до певних точок простору, а не до певних частинок рідини, які рухаються у просторі. Теж саме відноситься до і .

Нестислива рідина.

Розглядається одномірний рух рідини у трубі (рисунок 2.3.) вздовж осі .

Рисунок 2.3 – Схема одномірного руху рідини у трубі.

Рахуючи, що рідина нестислива, приймаємо, що у ній неможливе утворення пустот, тобто дотримується умова нерозривності руху. Виходячи з цього, кількість рідини, яка проходить за одиницю часу через переріз 1 – 1 () і 2 – 2 () повинна бути рівною, тобто

. (2.21)

Позначимо через масову швидкість у напрямі осі , де - густина рідини, яка розглядається. Так як маса рідини в об'ємі, який розглядається, не змінюється, то масова швидкість у всіх перерізах буде однакова

. (2.22)

Отже

, (2.23)

тобто

. (2.24)

Формула (2.14) виражає закон збереження маси при одномірному русі рідини. Виходячи з формули (2.13) чи (2.14) маємо , тобто із врахуванням постійності густини , де – середня швидкість у перерізі 1 – 1, а - у перерізі 2 – 2.

При виводі рівняння (2.14) передбачається, що площа перерізу труби постійна. У іншому випадку, позначаючи площу перерізу 1 – 1 через , а площу 2 – 2 через і враховуючи, що

і (2.25)

з формули (2.12) одержимо

. (2.26)

З формули (2.16) видно, що при усталеній течії нестисливої рідини середні швидкості у поперечних перерізах обернено пропорційні до площ цих перерізів.

Так як при усталеній течії газу масова витрата по довжині труби має одне і те саме значення, то, виходячи з (2.12) і (2.15), для усталеної течії газу одержуємо

(2.27)

або

. (2.28)

Розглянемо випадок плоскої течії нестисливої рідини. Для цього візьмемо паралелепіпед з сторонами , , 1 об'ємом (рисунок 2.4).

Кількість рідини, яка перетікає через сторони 1, 2, 3 і 4, відповідно буде

, (2.29)

де і – масові швидкості у напрямі осей і .

Рисунок 2.4 – Схема плоскої течії рідини.

Відзначимо, що на рисунку 2.4 не обмежуємо напрям течії. Рідина може надходити через грані 1 і 4 і витікати через грані 2 і 3 або надходити через грані 1 і 2 і витікати через грані 3 і 4. Також можливі інші напрями течії. Але кількість рідини, що надійшла, повинна бути рівною кількості рідини, яка витекла. Це пояснюється тим, що у розглянутому прикладі рідина нестислива, тобто у об'ємі, який розглядається, маса (густина) рідини не змінюється.

Іншими словами,

. (2.30)

Закон збереження маси (2.18) показує, що кількість рідини, яка надійшла у даний об'єм, рівна кількості рідини, яка витекла з даного об'єму. Вирази у дужках у формулі (2.18) завжди мають різні знаки, причому тут приводяться алгебраїчні значення . Останнє зауваження має місце при будь-якому варіанті течії.

Зміна кількості рідини у прямокутнику, який розглядається, буде

(2.31)

у напрямі осі і

(2.32)

у напрямі осі .

У всіх випадках течії нестисливої рідини і будуть мати різні знаки і

. (2.33)

Формула (2.21) одержана з врахуванням рівності кількості рідини, яка надходить у розглянутий об'єм, до кількості рідини, яка витікає з цього об'єму. Підставивши значення і з (2.19) і (2.20) у (2.21) одержуємо

. (2.34)

Розділивши останній вираз на , і перейшовши до границі і , одержимо

(2.35)

або

. (2.36)

Формула (2.22) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при плоскій течії нестисливої рідини.

У формулі (2.22) і завжди мають різні знаки. Це пояснюється тим, що якщо, наприклад, від'ємна величина, то зменшується, і у напрямі осі більше надходить рідини (через переріз 1), ніж витікає (через переріз 2), що може призвести до нагромадження рідини. Тому з-за нестисливості рідини у напрямі витік рідини повинен бути більше її притоку. буде рости вздовж , тобто значення повинно бути додатним. Точно також при додатному витік рідини у напрямі повинен компенсуватися її притоком у напрямі , отже буде зменшуватись, тобто значення повинно бути від'ємним.

Нарешті, розглянемо течію нестисливої рідини у просторі. Для цього візьмемо паралелепіпед (рисунок 2.5), грані якого паралельні координатним площинам і мають площі відповідно

. (2.37)

Кількість рідини, яка протікає через грані взятого паралелепіпеда, визначається за формулами

; (2.38)

; (2.39)

; (2.40)

; (2.41)

; (2.42)

. (2.43)

де – масова швидкість у напрямі осі .

Рисунок 2.5 – Течія нестисливої рідини у просторі.

Зміна кількості рідини у розглядуваному паралелепіпеді буде:

(2.44)

у напрямі ;

(2.45)

у напрямі ;

. (2.46)

Так як рідина нестислива, то

. (2.47)

У залежності від напряму руху дві з цих величин будуть мати однаковий знак, а третя величина – протилежний. У іншому випадку рідина з усіх сторін буде надходити у об'єм, який розглядається, що фізично неможливо з-за нестисливості рідини.

Підставивши значення у (2.23), розділивши їх відповідно на , і та перейшовши до границі , і , одержимо

, (2.48)

або

. (2.49)

Формула (2.24) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при просторовій течії нестисливої рідини. При одержанні рівняння (2.24) припускається, що рідина нестислива, тобто маса (густина) рідини у об'ємі, який розглядається, не змінюється. Якщо у (2.24) значення і мають однаковий знак, наприклад додатний, то це означає, що у напрямі і більше витікає рідини, ніж надходить, так як у цьому випадку і зростають. У зв'язку з нестисливістю рідини цей витік повинен компенсуватися притоком у напрямі . По напряму приток рідини у об'єм, який розглядається, повинен бути більше її витоку з цього об'єму, тобто буде зменшуватись, отже, значення повинно бути від'ємним.

Стислива рідина.

Якщо рідина стислива, тобто густина (і, відповідно, маса) рідини може змінюватись у часі, то зміна кількості рідини у розглянутому об¢ ємі призведе до зміни густини (маси) рідини у тому ж об¢ ємі. Так, наприклад, для стисливої рідини (рисунок 2.3) і за деякий проміжок часу різниця між кількістю притоку рідини у даний об’єм і відпливу з нього призведе до зміни густини рідини у аналізованому об¢ ємі. При цьому якщо , тобто у даний об’єм більше притікає рідини, чим із нього випливає, то це призведе до збільшення густини у даному об¢ ємі, якщо ж , то кількість рідини, що випливає з даного об¢ єму, більше кількості рідини, що притікає у нього і призведе до зменшення густини рідини у даному об’ємі. Таким чином, якщо протягом деякого проміжку часу величина , то густина у даному об’ємі зростає, тобто , якщо ж , то густина у даному об’ємі зменшується, тобто .

Отже, зростання масової швидкості у даному об’ємі за деякий проміжок часу призводить до зменшення густини рідини у даному об’ємі, а зменшення масової швидкості призводить до зростання густини у даному об’ємі. Іншими словами, і завжди будуть мати протилежні знаки, тобто знаки і - будуть різні. Таким чином, якщо для нестисливої рідини , то для стисливої рідини . При цьому якщо , то вздовж осі зменшується, тобто більше притікає рідини у даний об’єм, ніж із нього витікає, що призводить до зростання густини у часі, або ж . Аналогічно, якщо , то зростає вздовж осі , тобто більше витікає рідини з даного об’єму, ніж у нього притікає, що призводить до зменшення густини у часі, або .

Проілюструємо сказане вище на прикладах. Позначимо через об’єм і припустимо, що . Нехай кількість, що притікає за час у цей об’єм, рідини буде , а кількість рідини, що витікає, . Зміну маси у даному об’ємі за час позначимо через . Тоді

а) якщо = 20 кг, a = 19 кг, тобто у зазначений об’єм більше притікає рідини, ніж випливає, то маса рідини збільшується на

,

тобто на 2%;

б) якщо = 20 кг,, a = 22 кг, тобто з цього об’єму більше випливає рідини, ніж у нього притікає, то маса рідини зменшується на

,

тобто на 2%.

Тепер перейдемо до одержання математичного виразу закону сталості маси, тобто до виводу рівняння нерозривності стисливої рідини. Для одномірної течії рідини (рисунок 2.3) зміна кількості рідини за деякий проміжок часу складе

, (2.50)

де - площа поперечного перетину труби.

Зміна ж маси у аналізованому об’ємі за той же проміжок часу

. (2.51)

Як було зазначено вище, і завжди будуть мати різні знаки. Прирівнюючи праві частини (2.25) і (2.26), одержуємо вираз закону сталості маси

. (2.52)

У результаті ділення останнього виразу на при переході до межі при і знаходимо

, (2.53)

або ж

. (2.54)

Рівняння (2.27) називається рівнянням нерозривності стисливої рідини при лінійному плині. Права частина, тобто характеризує зміну густини рідини у часі, а ліва частина - зміну швидкості уздовж осі (осі труби).

Тому і завжди будуть мати різні знаки. Рівняння (2.27) справедливо для будь-якої точки у будь-який момент часу . Це пояснюється тим, що перерізи та , а також моменти часу і були узяті довільно, а для одержання (2.27) ми переходили до межі при і , тобто формула (2.27) була отримана для довільної точки і довільного моменту часу . Останнє зауваження ставиться також до випадку плоского і просторового плину рідини.

При плоскому плині рідини ми виходили з рисунка 2.4. Зміна кількості рідини за проміжок часу визначали за формулою

, (2.55)

а зміну маси у аналізованому об’ємі - за формулою

. (2.56)

При виводі формул (2.28) і (2.29) розглядаємо паралелепіпед із шириною, рівною одиниці, довжиною і висотою . Прирівнявши праві частини (2.28) і (2.29), попередньо розділивши їх на , і перейшовши до межі при ; і , одержимо

, (2.57)

або

. (2.58)

Це рівняння називається рівнянням нерозривності плоского плину стисливої рідини, і справедливо воно для будь-якої точки у будь-який момент часу .

Нарешті, для одержання рівняння нерозривності при плині рідини у просторі ми виходили з рисунка 2.5. Зміну кількості рідини у аналізованому об’ємі за проміжок часу визначали за допомогою рівності

. (2.59)

Зміна ж густини у аналізованому об’ємі за аналізований проміжок часу буде

. (2.60)

Прирівнявши праві частини (2.31) і (2.32), попередньо розділивши їх на , і перейшовши до межі при ; ; і , одержимо

, (2.61)

або

. (2.62)

Це рівняння являє собою рівняння нерозривності при просторовій течії стисливої рідини. Права частина рівняння характеризує зміну густини у часі, а ліва - зміну кількості рідини у аналізованому об’ємі.

Рівняння (2.33) справедливо для будь-якої точки простору у будь-який момент часу . Величини і можуть мати як однакові, так і протилежні знаки. Проте у усіх випадках знаки і - будуть протилежними. Так, наприклад, якщо у точках зазначеного об’єму значення позитивне (при цьому і усі можуть бути позитивними або мати різні знаки), то це значить, що з зазначеного об’єму рідини випливає більше, ніж притікає. Останнє призводить до зменшення густини у цьому об’ємі у часі, тобто . Аналогічно, якщо значення від¢ ємне (при цьому і усі можуть бути від¢ ємними або ж мати різні знаки), то у даний об’єм більше притікає рідини, чим випливає; останнє призводить до збільшення густини у часу у цьому об’ємі, і, отже, .

При одержанні рівняння нерозривності (2.33) підраховувалася зміна маси у об’ємі паралелепіпеда . Цей паралелепіпед заповнений. Якщо роздивитися фільтрацію рідини через однорідне пористе середовище шпаристістю т, то об’єм, зайнятий рідиною, стане рівним .

Тому рівняння нерозривності у цьому випадку буде

. (2.63)

Аналогічно для плоского й одномірного плину з рівнянь (2.30) і (2.27) одержимо такі рівняння нерозривності плоскої й одномірної фільтрації рідини:

, (2.64)

. (2.65).

У випадку суміші рідин і газів, тобто перемінності складу уздовж об’єму, рівняння нерозривності виводиться для двокомпонентної системи. Склад суміші визначається масовою концентрацією c - відношенням маси даного компонента до загального маси рідини у заданому елементарному об’ємі.

Зміна відбувається шляхом механічного перемішування - склад об’єму, що рухається, не змінюється, але в кожній заданій нерухомій точці, що знаходиться в цьому місці рідини, c згодом буде змінюватися.

При дифузії під і розуміються мольні швидкості потоку, а буде відповідати концентрації. Умовою дифузії є наявність градієнту концентрацій компонента, що дифундує, (аналогічно тому, як температурний градієнт є умовою теплопровідності). Будемо вважати, що маса, яка накопичується, викликає збільшення концентрації компонента . За допомогою цього приросту концентрації також можна висловити масу, що накопичується в елементарному паралелепіпеді .

Закон збереження енергії.

Покажемо на прикладах, як можна застосовувати закон збереження енергії для опису деяких фізичних процесів.

У основному будуть розглядатися механічний і тепловий процеси, тому сформулюємо для них закон збереження енергії. Для механічних процесів сума кінетичної і потенційної енергії постійна.

При теплових процесах закон збереження енергії, або перший закон термодинаміки, записується так: нескінченно мала зміна внутрішньої енергії складається з двох частин - із кількості тепла, отриманого тілом, і виконаної тілом роботи.

Робота при надходженні тепла залежить від початкового і кінцевого стану тіла і від шляху, по якому змінюється стан тіла. Тому не можна розглядати тепловий ефект процесу як різницю цих кількостей у кінцевому і початковому станах.

З поглинанням тепла в кількості температура підвищується на розмір .

Відношення (де - маса тіла) називається теплоємністю тіла. У фізиці користуються теплоємністю при постійному тиску і теплоємністю при постійному об’ємі .

Застосуємо перший закон термодинаміки для дослідження процесу поширення тепла в тілі.

Розглядаються два перетини 2-2 і 2-2 (рисунок 2.7). Тіло має якусь визначену початкову температуру. До одного кінця тіла підводиться джерело тепла або холоду. Відповідно до цього в тілі відбувається нагрівання або охолодження.

Температура в якійсь точці тіла буде залежати від відстані точки до місця підводу тепла і часу .

На поточний розподіл температури у тілі впливає початковий розподіл температури, а також умови у кінцевих перетинах тіл, зокрема від температури на обох кінцях тіла.

Рисунок 2.7 – Схема руху тепла.

У приведеному прикладі через перетин 2-2 у одиницю часу підводиться кількість тепла, рівна . Через перетин 2-2 у одиницю часу відводиться кількість тепла, рівне . Різниця між цими кількостями тепла

(2.66)

відповідно до першого закону термодинаміки витрачається на зміну температури у відсіку між перерізами 1-1 і 2-2.

Якщо , то тіло нагрівається, у протилежному випадку – охолоджується, тобто у першому випадку

, (2.67)

а у другому – .

При зміні кількості підведеного й відведеного тепла на розмір температура тіла (відповідно до закону збереження енергії і визначення теплоємності) повинна змінюватися на величину

; (2.68)

, (2.69)

де - елементарна маса тіла; - площа поперечного перетину тіла; - густина тіла.

Так як при і при , у правій частині (2.68) поставлений знак мінус.

Підставивши у (2.68) значення і відповідно з (2.60), (2.62) і розділивши його на і при і , одержимо

. (2.70)

Таким чином, в одному рівнянні одержуємо два невідомих і . Покажемо застосування закону збереження механічної енергії.

Позначимо через - дотичну напругу. Виведемо диференційне рівняння прямування у круглій циліндричній трубі уздовж кільця. Для цього виділимо у зоні на відстані від осі труби елементарний кільцевий прошарок товщиною та довжиною і складемо рівняння рівноваги сил, що діють на виділений елемент. Цими силами будуть: гальмівна сила , сила прискорення , сила тиску і сила енергії .

За принципом д'Аламбера, сума цих сил повинна дорівнювати нулю. Якщо при цьому врахувати, що перша й остання з цих сил діють у напрямку, оберненому дії інших двох сил, то

. (2.71)

Зневажаючи розміром у порівнянні з іншими членами, одержуємо

. (2.72)