Основні властивості щільності

1. Щільність імовірності – додатна функція.

2. На мінус нескінченності щільність імовірності дорівнює нулю:

, тому що .

3. На плюс нескінченності щільність імовірності також дорівнює нулю: , так як .

4. Імовірність того, що значення випадкової величини належать інтервалу (рис.6) може бути обчислена за допомогою формули (11):

Рис.6

(2.2.11)

Під інтегральний вираз у даній формулі називається елементом імовірності. Іншими словами, це – приблизна ймовірність того, що значення випадкової величини Х належить елементарному інтервалу .

Формула (11) виражає зв’язок між імовірністю й густиною є ймовірності.

Імовірність попадання випадкової величині Х в інтервал дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої відрізком [a, b] вісі х, прямими і і кривою розподілу (рис.с6).

5. Зв’язок між функцією розподілу випадкової величини та її густиною імовірності визначається виразом:

. (2.2.12)

Значення F(x) дорівнює площі під кривою розподілу, яка знаходиться лівіше від точки х (рис.с7).

Рис.7.

6. Інтеграл у нескінченних границях від густини розподілу ймовірності дорівнює одиниці:

(2.2.13)

7. Розмірність щільності ймовірності ¦(х) зворотно пропорційна розмірності випадкової величини

Х (2.2.14)

Висновок: У матеріалі даного питання розглянуті визначення функції і густини розподілу, основні властивості функції розподілу й щільності розподілу. Усі ці поняття ми будемо застосовувати при розгляді матеріалу 3 і 4 тем.

2.2.2. Перетворення випадкових величин

Генеральна сукупність – множина, яка включає всі однорідні об’єкти, яким властиві або не властиві певні кількісні і якісні ознаки.

Об’єкти – це, наприклад, результати багаторазових спостережень, точки попадання снаряду і т.п.

Вибіркою називається частина генеральної сукупності, яка вибрана для спостережень.

Нехай у результаті n - спостережень одержано ряд можливих значень (чисел) х₁, х₂, …, х_i, …, х_n.

Цей ряд складає вибірку із генеральної сукупності, кожне число цього ряду називається елементом вибірки, а загальне число елементів n – об’ємом вибірки. Вважають, що число елементів у генеральній сукупності N велике, а число елементів n – обмежене, тобто n< < N.

Якщо елементи вибірки розташовані в зростаючій послідовності, то такий ряд називають варіаційним рядом або впорядкованою вибіркою

x₁< x₂< …< x_i< …x_n (2.2.15)

Різницю крайніх членів варіаційного ряду (найбільшого та найменшого) називають діаметром випадкової величини:

(2.2.16).