Постановка задачи численного дифференцирования.

Множество прикладных задач, решаемых средствами класси­ческого математического анализа, сводится к нахождению произ­водной функции, первообразной или определенного интеграла от заданной функции.

При аналитическом задании указанной функции ее дифферен­цирование и (или) интегрирование следует, в первую очередь, стремиться выполнить аналитически. В классе элементарных функ­ций, с которыми чаще всего приходится на практике иметь дело, операция дифференцирования выполняется достаточно просто и никогда не выводит за пределы этого класса. Операция же нахож­дения первообразной в этом классе функций, напротив, очень часто выводит за пределы класса элементарных функций, и по­этому технически существенно сложнее. Поскольку классический способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньюто­на—Лейбница требует нахождения первообразной, то те же труд­ности переносятся и на вычисление определенных интегралов.

При табличном задании функции, для которой требуется осу­ществить дифференцирование или интегрирование (а такой спо­соб задания функции в приложениях встречается чрезвычайно часто), возможности аналитических методов вообще неясны без уточнения постановки задачи.

В силу указанных факторов численные методы дифференциро­вания и интегрирования при решении прикладных математичес­ких задач играют важную роль и поочередно будут нами рассмотрены.

Как известно, производная аналитически заданной функции в точке определяется следующим образом:

(5.1)

при этом функция должна быть непрерывна в окрестности точки . Хорошо известная из введения в математический анализ формула при определенном подходе (когда, скажем, получение аналитического выражения производной по каким-либо причи­нам затруднительно) может быть использована для быстрого по­лучения достаточно хорошего приближения к числовому значе­нию производной в точке . Для этого строится последователь­ность значений , сходящаяся к , ивычисляется соответствую­щая последовательность значений разностных отношений

(5.2)

Поскольку последовательность (5.2) сходится к , каждое новое значение будет, вообще говоря, давать все более точное значение (оговорка сделана по известной причине — поме­хой может стать неустойчивость вычислений).

В силу ряда причин, численное дифференцирование применяется, прежде всего, для таблично заданных функций. Задача ставится следующим образом: функция задана таблицей 5.1 на отрезке в узлах Требуется найти приближенное значение производной этой функции в некоторой точке ( может быть как узловой точкой, так и расположенной между узлами).

Таблица 5.1

Один из подходов к решению этой задачи заключается в том, что по таблице значений строится интерполирующая функ­ция иза значение производной приближенно прини­мается т.е. (5.3)

При этом задача не может считаться решенной, если нет оцен­ки погрешности, т.е. величины Отметим одно чрезвычайно важное обстоятельство — некор­ректность (в общем случае) этого приема. В процессе построения интерполирующей функции мы стремимся сделать ее значения близкими (в заданной мере) зна­чениям исходной функции во всех точках отрезка интерполяции.

Эта задача, вообще говоря, разреши­ма и погрешность интерполя­ции, т. е. максимальное расхожде­ние между функциями, можно оценить. Однако близость значе­ния двух функций не гарантирует близость значений их производ­ных, т. е. тангенсов углов наклона касательных. Это утверждение ил­люстрируется на рис. 5.1, где сплошная линия — график исход­ной функции , пунктирная линия — интерполирующей фун­кции . Из рисунка хорошо видно, что близость (и даже совпа­дение) значений функций вовсе не означает близости значений производных, т. е. тангенсов углов наклона касательных и .

5.2. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа.

В предыдущей лабораторной работе отмечалось, что по таблице значений функции, постро­енной по заданной системе из п+ 1 узлов, можно сконструировать единственный интерполяционный многочлен n -й степени. По­скольку вычисляемый объект (значение производной ) суть число, то неважно, какую из рассмотренных выше интерполяци­онных формул — Лагранжа или Ньютона — положить в основу вычислений: результат должен получиться одинаковым.

Итак, применяя для численного дифференцирования на от­резке интерполяционный многочлен, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на п равных частей: x_i+1--x_i = h = const (i = 0, 1, 2,..., n-1); шаг интерполирования при этом имеет значение h=(b-а)/п. В этом случае многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид.

Примем подстановку:

(5.4)

и с учетом представления (4.11) получим новые выражения для и .

Используя (5.4), последовательно находим:

т.е. в общем случае:

(5.5)

Используя (5.5), получаем:

В целях сокращения записей введем обозначение

,

тогда выражение принимает вид

(5.6)

Учитывая, что при постоянном шаге имеет место последовательно находим:

(5.7)

Заметим, что в (5.7) ровно строк ( я строка отсутствует), причем значения первых строк положительны, а остальных – отрицательны. Используя (5.7), получаем:

т.е. (5.8)

С учетом представлений (5.6) и (5.8) формула Лагранжа (4.11) принимает вид:

(5.9)

Пример 5.2 Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах ():

	-1
		-2

Используя формулу (5.9), запишем:

Узловые табличные значения функции (4; -2; 6) получаются по этой формуле соответственно при

Следуя (5.3), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (5.9) по как функцию от :

Учитывая, что согласно (5.4) а также получим окончательно

(5.10)

Пользуясь формулой (5.10), можно вычислять приближенные значения производной функции , если она задана на отрезке значениями в равноотстоящих узлах (при этом параметр пробегает значения от 1 до ). Аналогично могут быть найдены производные функции более высоких порядков.

Пример 5.3. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей

		-1

в точке .

Применяя формулу (5.10), получим (здесь ):

Учитывая, что узел соответствует значению (т.е. ), получаем

Если известно аналитическое выражение функции , то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования:

(5.11)

где - значение из отрезка , отличное от узлов и .

Учитывая (5.11) и допуская, что дифференцируема раз, запишем:

(5.12)

Формула (5.12) значительно упрощается, если оценка находится для значения производной в узле таблицы. В этом случае, учитывая (5.8) получаем

(5.13)

где промежуточное значение между .

Обозначив , получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:

. (5.14)