Постановка задачи численного интегрирования.

При вычислении определенного интеграла

где — непрерывная на отрезке функция, иногда удает­ся практически воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница:

(5.27)

Здесь одна из первообразных функций (т.е. такая функ­ция, что ). Однако даже в тех практически редких случа­ях, когда первообразную удается явно найти в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если к тому же учесть, что иногда по­дынтегральная функция вовсе задается таблицей или графиком, то становится понятным, почему формула (5.27) не исчерпывает практических приемов вычисления интегралов.

На практике часто применяют различные методы приближен­ного (численного) интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называют квадратурны­ми формулами. Простой прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция заменяется на отрезке интерполяционным многочленом, например много­членом Лагранжа , и принимается приближенное равенство

(5.28)

Подобный подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на компьютере и позволяющим получить ре­зультат с точностью, достаточной для широкого круга практичес­ких приложений. При этом предполагается, что отрезок раз­бит на частей точками наличие которых подразумевается при построении многочлена . В силу фак­тической единственности интерполяционного полинома й сте­пени для данной функции и данной системы узлов не имеет зна­чения, использовать ли в этой процедуре многочлен Лагранжа или многочлены Ньютона.

Подставляя в (5.28) вместо его представление (4.11), получим

Таким образом,

(5.29)

где

(5.30)

По поводу полученных формул можно заметить, что:

1) коэффициенты не зависят от вида функции , так как они составлены только с учетом узлов интерполяции;

2) если — полином степени то тогда формула (5.17) —точная, ибо в этом случае