Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формула Симпсона.




При из формулы (5.33) последовательно имеем :

Тогда с учетом (5.34) получим на отрезке

т.е.

(5.43)

Геометрически, в соответствии со смыслом интерполяцион­ной формулы Лагранжа при , использование формулы (5.43) означает замену подынтегральной функции параболой проходящей через точки (рис. 5.3).

Рис5.3. Иллюстрация к вычислению интеграла по формуле Симпсона.

Если считать, что четное , то, применяя формулу (5.43) последовательно к каждой паре частичных отрезков получим

(5.44)

Формула (5.44) называется формулой Симпсона. Оценку остаточного члена формулы Симпсона приведем без вывода:

где (5.45)

Как следует из оценки, формула Симпсона оказывается точ­ной для полиномов до третьей степени включительно (так как для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю). Фор­мула Симпсона обладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций. Это означает, что для достижения той же точности, что и по формуле трапеций, в ней можно брать мень­шее число отрезков разбиения. Последнее обстоятельство весьма важно для вычислений, поскольку основное время затрачивается на нахождение значений функции в узлах.

Укажем в заключение весьма простой практический прием, позволяющий прогнозировать требуемое число отрезков разбие­ния по заданной точности .

Пусть задана предельная допустимая погрешность интегриро­вания . Желая иметь , с учетом оценки (5.45) достаточно потребовать: откуда т.е. (5.46)

 

Формула (5.46) позволяет оценить величину шага, необхо­димую для достижения заданной точности (из формулы видно, что имеет порядок ).

Пример 5.7. Вычислить интег­рал из примера 5.6 по формуле Симпсона при том же числе от­резков разбиения .

   
0,1     0,0019966
0,2   0,0079467  
0,3     0,0531936
0,4   0,0623068  
0,5     0,2397124
0,6   0,2032711  
0,7     0,6313333
0,8   0,4591078  
0,9     1,2689896
1,0 0,4207355    
  0,4207355 0,7326324 2,1952255
Таблица 5.4.

Для оценки остаточного члена найдем производную четверто­го порядка от подынтегральной функции

:

Значение на отрезке [0; 1] ограничено числом 14. Используя формулу (5.45), получаем оценку:

Значения подынтегральной функции в узлах в соответствии с формулой Симпсона (5.44) приведены в табл. 5.4.



Используя значения сумм из последней строки таблицы, име­ем по формуле Симпсона:

Округляя результат в соответствии с полученной раньше оцен­кой, получаем .

Сравнивая этот результат со значением интеграла, получен­ным в примере 5.6, замечаем, что при одинаковом числе отрез­ков разбиения формула Симпсона дает ответ с более высокой точ­ностью.

Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (5.46). Пусть требуется найти значение заданно­го интеграла с точностью . Тогда по формуле (5.46) полу­чаем

Отсюда следует, что при использовании формулы Симпсона для достижения точности достаточно было бы разбить от­резок [0; 1] на 20 частей (с шагом = 0,05).

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал