Постановка задачи решения уравнений. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

Решение уравнений — одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Существует множество классов уравнений — алгебраические и трансцендентные, дифференциальные, интегральные, функциональные, операторные и т.д. Конечно, предпочтительными являются аналитические методы решения, позволяющие получить его в виде формулы. Примеры уравнений, позволяющих получать аналитические решения, хорошо известны из школьной математики. Из алгебраических это линейные и квадратные уравнения, из трансцендентных — простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Простейшие дифференциальные уравнения — с разделяющимися переменными, линейные, однородные и некоторые другие — также позволяют получать аналитические решения. При изучении других классов уравнений (интегральных и т.д.) удается выделить некоторые простейшие их разновидности, которые, с известными оговорками, решаются аналитически. Тем не менее подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. Пусть имеется уравнение вида

F(x)= 0, (2.1)

где F(х) — алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить такое уравнение — значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (либо точно, либо, если это невозможно, то с нужной точностью). Мы ограничимся обсуждением методов поиска лишь действительных корней, не затрагивая проблему корней комплексных.

Решение указанной задачи в достаточно общем случае начинается с отделения корней, т. е. с установления:

- количества корней;

- наиболее “тесных” промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Следует отметить, что универсальных приемов решения этой задачи, пригодных для любых уравнений, не существует. Разработаны методы ее решения для того случая, когда F(х) — многочлен произвольной степени, здесь мы их рассматривать не будем.

Если бы мы располагали графиком функции F(х), то примерное положение корней уравнения (2.1) было бы очевидным — точки пересечения графика с осью абсцисс. Однако построение графиков функций обычно и начинается с поиска ее нулей, т.е. возникает замкнутый круг.

Тем не менее отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение (2.1) равносильным ему уравнением

. (2 2)

В этом случае строятся графики функций и , а потом на оси х отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 2.1. Для графического отделения корней уравнения преобразуем его к равносильному уравнению и отдельно построим графики функций и (рис. 2.1).

Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень и этот корень находится на отрезке [1; 1, 5].

Рисунок 2.1. Иллюстрация к отделению корней уравнения.

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

1.Если непрерывная на отрезке [ а; b ] функция F(х) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. < 0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень.

2. Если функция F(х) к тому же еще и монотонна, то корень отрезке [ а; b ] единственный.

Вычислим для проверки значения функции на концах отрезка [1; 1, 5]: F(1)= 0, 909298; F(1, 5)=- 0, 264344. Как видно, корень на отрезке [1; 1, 5] действительно имеется.

Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом. Так, в нашем примере имеем F(1, 3)=0, 253138> 0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать [1, 3; 1, 5].

В простейших случаях графическое отделение корней можно осуществить вручную, однако в более сложных случаях для исследования вопроса о наличии (и количестве) корней уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом. Рассмотрим коротко суть идеи для применения указанного подхода.

Пусть имеется уравнение F(х)=0, причем известно, что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [ А; В ], на котором функция F(х) определена, непрерывна и F(А)•F(В) < 0. Требуется отделить корни уравнения, т.е. указать все отрезки [а; b] [А, В], содержащие по одному корню.

Будем вычислять значения F(х), начиная с точки х=А, двигаясь вправо с некоторым шагом h (рис. 2.2). Как только обнаружится пара соседних значений F( х), имеющих разные знаки, и функция F(х) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента х (предыдущее и следующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Рисунок 2.2. Иллюстрация к процессу отделения корня.

Пример 2.2. Построить графическую иллюстрацию и локализовать корни уравнения на отрезке [-10; 10] с шагом 0, 1.

Решим эту задачу с помощью Ехсеl (рис. 2.3). Кроме графика функции на экран компьютера выводится таблица табулирования, из которой и выбирается окончательный результат — семь отрезков отделения корня с шагом 0, 1: -9, 7< < -9, 6; -9, 0< х₂< -8, 9; -4, 3< х₃< -4, 2;

-1, 8< х₄< -1, 7; 1, 4< х₅< 1, 5; 5, 2 < х₆< 5, 3; 7, 0< х₇< 7, 1.

Рисунок 2.3. Отделение корней функции с помощью ТП Excel.