Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Складені функції та їх диференціювання.
Розглянемо функцію змінних . Припустимо, що змінні у свою чергу є функціями змінної : . Тоді функція буде складеною функцією змінної : . Теорема. Якщо функції диференційовні в точці , а функція диференційована у відповідній точці . Тоді складена функція диференційовна у точці , і справедлива формула: . (11.1) Доведення. Надамо змінній приріст , тоді змінні отримають відповідно прирости . У свою чергу функція отримає приріст . Оскільки диференційовна в точці , то , де – нескінченно малі при . Поділимо обидві частини цієї рівності на : . Оскільки диференційовні у точці , то . З диференційовності функцій в точці випливає їх неперервність в цій точці, отже , а звідси . Таким чином існує . Теорему доведено. Для функції 2-х змінних , де , маємо: . (11.2) Зокрема, якщо , , то . (11.3) Доведена теорема поширюється на більш загальний випадок. Нехай маємо функції , …, диференційовні в точці простору . Нехай , де – відповідна точка простору . Теорема. Якщо функції , де , диференційовні у точці , а функція диференційовна у відповідній точці , то складена функція диференційовна у точці , і справедливі формули: , … . Для функції 2-х змінних , де , маємо: , . (11.4) Приклади. 1. Знайти , якщо , де , . За формулою (11.2) маємо: . 2. Знайти , якщо . У розділі «Диференціальне числення функції однієї змінної» похідні таких функцій ми знаходили шляхом використання формули логарифмічного диференціювання. Тут ми скористаємось апаратом диференціювання складених функцій декількох змінних. Позначимо: , . Тоді . Згідно з формулою (11.2) маємо: = . 3. Знайти , якщо , де . Маємо: , . Згідно з формулою (11.4): , . Отже: .
|