Похідна функції за заданим напрямом.

Розглянемо функцію 3-х змінних , яку визначено в деякій множині . Нехай – внутрішня точка множини . Визначимо в точці деякий напрям , який визначається напрямними косинусами (). Оскільки – внутрішня точка множини , то при переміщенні з точки у напрямі ми обов’язково знайдемо іншу точку , яка також є внутрішньою точкою множини . При переході від точки до точки функція отримає приріст:

.

Нехай . Тоді

.

Отже:

.

Означення. Похідною функції в точці за напрямом називається границя відношення приросту цієї функції в даному напрямі до величини переміщення, коли останнє прямує до нуля:

.

Аналогічно визначається похідна за даним напрямом функції 2-х змінних . Відповідне поняття можна ввести і для функції довільного числа змінних .

Зокрема можна розглядати як похідні функції за додатними напрямами координатних осей відповідно .

Похідна виражає швидкість зміни функції вздовж напряму . Якщо вздовж даного напряму , то у даному напрямі функція зростає, а якщо , то функція спадає.

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці , то похідну за напрямом в цій точці може бути знайдено за формулою:

. (13.1)

Доведення. Оскільки функція диференційовна в точці , то

, де при . Звідси:

.

Переходячи до границі при , отримуємо формулу (13.1).

Приклади.

1. Знайти похідну функції у точці за напрямом

вектора .

Знайдемо значення частинних похідних у точці :

.

Знайдемо напрямні косинуси вектора :

.

Таким чином:

.

2. Знайти похідну функції у точці за напрямом від точки до точки .

Знайдемо вектор і його напрямні косинуси:

,

.

Знайдемо значення частинних похідних у точці :

, .

Таким чином у відповідності з формулою (3) маємо:

.

Оскільки , то наша функція у даному напрямі зростає.

3. Знайти похідну функції у точці кола у напряму нормалі до кола в цій точці.

Вектор нормалі до кола, тобто вектор нормалі до дотичної, яку проведено в точці , очевидно, має координати – радіус кола, який проведено до точці дотику, перпендикулярний дотичній (рис. 8).

Рис. 8.

Напрямні косинуси вектора дорівнюють:

.

Далі:

.

Тому:

.

Відмітимо, що похідна функції за напрямом нормалі до деякої лінії фігурує в багатьох задачах математичної фізики.