Диференціал функції багатьох змінних.

Розглянемо функцію , диференційовну в точці . Тоді її приріст у цій точці має вигляд:

, де прямують до нуля разом з . Тому можна записати:

.

Якщо , то . Отже при малих доданки малі порівняно з , і основний внесок у величину приросту здійснюється саме доданками – лінійними відносно . Тому ці доданки називаються головною частиною приросту функції або диференціалом функції.

Означення. Диференціалом диференційовної в точці функції називається вираз

.

Покладемо в цій рівності . Тоді

і маємо . Аналогічно , тобто диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами. Таким чином отримуємо:

.

Така форма запису диференціалу є найбільш поширеною.

Зокрема, для функції 2-х змінних маємо:

.

Для функції 3-х змінних маємо:

.

Приклади.

1. Знайти повний диференціал функції

.

Маємо:

,

.

Таким чином:

.

2. Знайти повний диференціал функції .

Маємо:

,

,

.

3. .

Така функція зустрічається в теорії потенціалу. Маємо:

.

Таким чином:

.