Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Степенные ряды в комплексной области






    Степенным рядом называется ряд

    , , ,

    Если

    справедлива теорема Абеля.

    Если , то данный ряд будет сходиться и в круге и равномерно внутри этого круга.

    Число - называется радиусом сходимости степенного круга - сходится, а при - расходится.

    Поскольку по теореме Абеля ряд сходится равномерно , то его можно интегрировать и дифференцировать почленно. Дифференцировать можно бесконечное число раз.

     

    34. Ряд Лорана

    Всякая аналитическая в кольце () функция может быть разложена в этом кольце в ряд , коэффициенты которого определяются формулой (), где L – произвольная окружность в с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

    Ряд Лорана для функции состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т.е. ряд называется правильной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга .

    Вторая часть ряда Лорана , т.е. ряд называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится в аналитической функции вне круга .

     

     

    35.Особые точки аналитических функций.

    Точка называется нулем функции , если . В этом случае разложение функции в окрестности точки в степенной ряд не содержит нулевого члена, т.к. . Если не только , но , а , то разложение функции в окрестности точки имеет вид , а точка называется нулем кратности m (или нулем m-го порядка). Если m=1, то называется простым нулем.

    Особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

    Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности ее функция не имеет других особых точек.

    Если - изолированная особая точка функции , то существует такое число , что в кольце . Функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

    При этом возможны следующие случаи:

    1) Ряд Лорана не содержит главной части, т.е. в ряде нет членов с отрицательным показателем. В этом случае точка называется устранимой особой точкой функции .

    2) Разложение Лорана содержит в своей части конечное число членов, т.е. в ряде есть коечное число членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется полюсом функции .

    3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т.е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется существенно особой точкой функции .

     

    36. Вычеты и их вычисление.

    Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интеграла , взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке , лежащей в области аналитичности функции (т.е. в кольце ).

    Обозначается вычет функции в изолированной области особой точке символом Res или Res . Таким образом, Res

    Если в формуле () положить n = -1, то получим или Res .

    Полюс Пусть точка является простым полюсом функции .Тогда ряд Лорана для функции в окрестности точки имеет вид .Отсюда .

    Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при , получаем Res

    Res

    Пусть точка является полюсом m-го порядка функции . Тогда лорановское разложение функции в окрестности точки имеет вид . Отсюда .

    Дифференцируя последнее равенство (m-1) раз, получим:

    Переходя здесь к пределу при , получаем Res .

     

    37. Основная теорема Коши о вычетах.

    Теорема(Коши) Если функция является аналитической в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек (), лежащих внутри области D, то .

     

     

    38. Вычисление несобственных интегралов.

    - несобственный интеграл.

    Теорема Пусть аналитична в области (в верхней полуплоскости) за исключением точки и непрерывна на оси OX.

    Пусть несобственный интеграл - сходится, а предел

    При выполнении этих условий справедлива следующая формула

    .

    Лемма Жордана Пусть функция аналитична в области всюду, за исключением конечного числа особых точек, если на окружности достаточно большого радиуса

    тогда при

    Следствие из леммы Жордана:

    1)

    2)

     

     

    39. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

    - определенный интеграл

     

     

    40. Определение преобразования Лапласа.

    Изображением оригинала называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом .

    Операцию перехода от оригинала к изображению называют преобразованием Лапласа.

     

     

    41. Свойства оригинала.

    Функция называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

    1) при

    2) - кусочно-непрерывная при , т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.

    3) Существуют такие числа и , что для всех t выполняется неравенство , т.е. при возрастании t функция может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста .

     

     

    42. Теорема линейности, смещения, подобия.

    Линейной комбинацией оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т.е. если , и - постоянные числа, то

    1 Используя свойства интеграла, находим

    <

    Если , , то , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

    1 По формуле имеем

    (так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).<

    Если , , то , т.е. умножения оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной .

    1В силу формулы имеем

    <

     

    43. Дифференцирование оригинала.

    Если и функции являются оригиналами, то

    1По определению изображения находим

    Итак, . Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производно :

    Аналогично найдем изображение третьей производной :

    .

    Применяя формулу раз, получим формулу .<

     

     

    44. Интегрирование оригинала.

    Если , то , т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на .

    1 Функция является оригиналом (можно проверить). Пусть . Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем (так как ). А так как , то . Отсюда , т.е. <

     

     

    45. Теорема запаздывания.

    Если , , то , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к уменьшению изображения оригинала без запаздывания на .

    1 Положив , получим <

     

     

    46. Дифференцирование изображения.

    Если , то

    т.е. дифференцирование изображения соответствует умножение его оригинала на .

     

    47. Интегрирование изображения.

    Если и интеграл сходится, то , т.е интегрирование изображения от до соответствует деление его оригинала на .

    1Используя формулу и изменяя порядок интегрирования, получаем

    <

     

    48. Свертка оригиналов. Интеграл Дюамеля.

    Если и также является оригиналом, то .

    Формула называется формулой Дюамеля.

    На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

    Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

     

    49. Формула Меллина.

    Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид , где интеграл берется вдоль любой прямой .

    При определенных условиях интеграл вычисляется по формуле .

     

    50. Решение дифференциальных уравнений операционным методом.

    Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям где - заданные числа.

    Будем считать, что искомая функция вместе с ее рассматриваемыми производными и функция являются оригиналами.

    Пусть и . Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении от оригиналов к изображениям:

    .

    Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

    т.е. , где и - алгебраические многочлены от степени и соответственно.

    Из последнего уравнения находим .

    Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения . Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т.е .

    В это случае .

     

    51. Применение формулы Дюамеля при решении задачи Коши.

    Рассмотрим дополнительную задачу:

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.