Теоретичні відомості. Поведінка великого класу технічних і фізичних систем, а також багатьох природних явищ досліджуються методами математичного моделювання і

Поведінка великого класу технічних і фізичних систем, а також багатьох природних явищ досліджуються методами математичного моделювання і, зокрема, із використанням подання їх у вигляді звичайних диференційних рівнянь (ЗДР).

У загальному випадку ЗДР першого порядку має вигляд:

, (1.1)

де f ‑ функція, t ‑ незалежна змінна (вважати, що t ‑ це час).

Для моделювання поведінки системи необхідно вирішити це рівняння, тобто одержати y (t).

Найбільш поширеним підходом до одержання розв'язання ЗДР є його чисельне інтегрування на комп’ютерах. Одним із найпростіших методів чисельного інтегрування є метод прямокутників (Ейлера), що реалізується за допомогою рекурентного співвідношення

, (1.2)

де y_n – значення змінної y на n -ому кроку, h – крок інтегрування, отриманий шляхом ділення часової області інтегрування на рівні інтервали.

На практиці для чисельного інтегрування ЗДР широко застосовується метод Рунге-Кутта четвертого порядку:

,

, (1.3)

.

Відповідно до наведених співвідношень, на кожному кроці інтегрування проводиться чотири оцінки y_n, а потім обчислюється їхнє середнє зважене значення. Глобальна похибка методу Рунге-Кутта четвертого порядку дорівнює O (h ⁴).