Теоретичні відомості. Для рішення ЗДР n-го порядку чисельними методами його необхідно призвести до системи, що складається з n диференційних рівнянь першого порядку

Для рішення ЗДР n -го порядку чисельними методами його необхідно призвести до системи, що складається з n диференційних рівнянь першого порядку. Методику такого приведення розглянемо на прикладі ЗДР другого порядку:

(1)

при початкових умовах

Введемо нові змінні

(2)

та розв'яжемо рівняння (2.1) щодо старшої похідної:

(3)

Зробивши підстановку нових змінних (2) в (3), одержимо систему з двох ЗДР першого порядку:

(4)

Зверніть увагу, у правих частинах рівнянь відсутні похідні змінних і система не містить початкової змінної y та її похідних.

Систему рівнянь (2.4) можна записати у векторній формі:

(5)

де

Для дослідження багатьох технічних і природних систем їх можна представити шляхом лінеаризації і допущень як лінійні систе­ми. При цьому рівняння мають лінійний вигляд, тобто в них відсутні нелінійні функції від змінних, а методи дослідження простіші.

Лінійні системи мають властивості однорідності й адитивності. Якщо система лінійна, то вона описується векторним рівнянням:

(6)

де Z – вектор стану системи, X – вектор зовнішніх впливів на систему, A и B – матриці відповідних розмірів.

Властивість адитивності виражається таким співвідношенням:

, (7)

де – початкові стани систем,

причому ,

– зовнішні впливи на системи,

причому .

Властивість однорідності задовольняє таке співвідношення:

, (8)

або

де – початкові стани систем, причому , – зовнішні впливи на системи, причому ,

k – коефіцієнт пропорційності.

З приведених співвідношень (7) та (8) очевидна властивість декомпозиції:

,

яке можна використовувати для дослідження лінійності систем.

Таким чином, лінійну систему можна досліджувати частинами. Наприклад, досліджувати її при нульових початкових умовах, з тестовими впливами, потім при нульових вхідних впливах із різними початковими умовами. Або одержати рішення при одиничних вхідних впливах, а будь-які інші рішення отримати шляхом множення його на відповідний коефіцієнт k.