Двохвильова дифракція в одномірно спотвореному кристалі.

Розглянемо вивід рівнянь для повільно змінних амплітуд (рівнянь Такагі) для кристалу з одномірним полем спотворень. При цьому ми обмежимось лише одним важливим в практичному значенні типом спотворення, коли атомні площини зміщені відносно положень в ідеальному кристалі без зміни їх розсіючої здатності. Ця модель охоплює широкий круг об’єктів, до яких належать іонно-імплантовані і дифузійні шари, епітаксійні плівки, надгратки та ін. В рамках цієї моделі вважатимемо, що поляризуємість кристалу не відрізняється поляризуємості ідеального кристалу і тому може бути розкладена в ряд Фур’є (1.14). Вектор електричного зміщення розкладемо в ряд по повільно змінним амплітудам :

, (1.28)

де на відміну від (1.15) хвильовий вектор – функція координат в кристалі. Оскільки спотворення в кристалі зводяться за допущенням до зміщення атомів, тобто до зміни фаз розсіяних хвиль в порівнянні з ідеальною граткою, то показник експоненти в (1.28) має вигляд

(1.29)

де – хвильовий вектор поля в ідеальному кристалі, а – функція, що задає поле зміщень. Вважатимемо, що поле зміщень змінюється повільно в порівнянні з величиною постійної гратки, а самі зміщення малі. Складова в правій частині (1.29) описує додаткові фазові зсуви розсіяних хвиль відносно їх положень в ідеальній кристалічній гратці. Діючи оператором градієнта на обидві частини (1.29), отримаємо вирази для хвильових векторів в спотвореному кристалі:

(1.30а)

або, з врахуванням умови (1.16):

(1.30б)

Цей результат можна трактувати як визначення локального вектору оберненої гратки спотвореного кристалу:

(1.31)

Для рішення рівняння (1.13) підставимо в нього розклади (1.14) і (1.28). Підстановка розкладу (1.28) для в ліву частину (1.13) приведе до наступного результату:

(1.32)

де визначається співвідношенням (1.30). Враховуючи, що за допущенням амплітуди і хвильові вектори змінюються повільно в порівнянні з фазовими складовими, перша і третя складові по сумі g в правій частині (1.32) можна опустити. Розглянемо другу складову під знаком суми в (1.32):

Другий член в квадратних дужках в правій частині цього рівняння містить другі похідні від повільно змінної функції зміщення і може бути також опущеним. Першу складову в квадратних дужках використовуючи (1.30а) перепишемо у вигляді:

.

Очевидно, що складовою пропорційною можна знехтувати. В результаті отримаємо

(1.33)

Повернемось тепер до розгляду четвертої складової в правій частині (1.32)

.

На основі результатів (1.30а), (1.22) і (1.23) перший член в квадратних дужках перепишемо у вигляді:

(1.34)

де - одиничний вектор вздовж . Враховуючи (1.33), (1.34), праву частину (1.32) (тобто, відповідно, ліву частину рівняння (1.13)) можна представити у вигляді:

(1.35)

Розглянемо тепер праву частину рівняння (1.13), яка має наступний вигляд . Підставимо в цей вираз розклади (1.14), (1.28) і врахуємо, що величини домножуються на малі множники , . Тоді, опускаючи всі складові, що містять любі похідні амплітуд і функції зміщення , після дії оператора rotrot на експоненту (в подвійному векторному добутку вектор слідує замінити вектором отримаємо

.

Перетворимо подвійну суму по g і g` так, як це було зроблено при виводі (1.19), найдемо

(1.36)

Прирівнюючи (1.35) і (1.36), знову отримаємо безмежну систему диференціальних рівнянь першого порядку для повільно змінних амплітуд поля в кристалі із спотвореннями:

(1.37)

У відповідності з визначенням хвильових векторів розсіяних хвиль (1.30) в спотвореному кристалі і умов (1.22), (1.23) введемо в лівій частині системи (1.37) поняття локальної акомодації :

(1.37¢)

Дещо пізніше розглянемо двопроменеву дифракцію плоскої хвилі в кристалі при умові, що функція зміщень , тобто залежить лише від координати z. Тоді із всієї системи рівнянь (1.37) слід зберегти лише два рівняння, в результаті чого вона приймає вигляд:

(1.38)

Відмінність системи рівнянь (1.38) від системи (1.25), яка описує дифракцію на ідеальному кристалі, полягає в тому, що акомодація a (1.22) замінюється на локальну акомодацію a(z). Для одновимірного поля спотворень залежить лише від координати z.

(1.39)

Виконаємо в системі рівнянь (1.38) експоненціальне перетворення тоді система (1.38) прийме вигляд:

(1.40)

Система рівнянь (1.40) допускає наступну інтерпретацію: в кожній точці z кристалу дифракційне (складова ) і дворазово розсіяне (складова ) поля отримують додаткові, в порівнянні з ідеальним кристалом, зсуви фаз і , відповідно. При цьому кристал розглядається як досконалий і вводиться незалежна від координат акомодація (1.22). Відзначимо, що систему (1.40) можна отримати формально заміною в розкладі (1.14) на . При цьому для амплітуди поля використовується розклад (1.15).