Основні співвідношення.

Для того щоб отримати хвильове рівняння, яке описує розповсюдження рентгенівського випромінювання в кристалі будемо виходити з точних не усереднених по фізично нескінченно малим об’ємам рівнянь Максвела. Це обумовлено тим, що довжина хвилі рентгенівського випромінювання l і радіуси атомів r_a одного порядку величини: l£ r_a.

Магнітні властивості кристалу здійснюють лише дуже слабкий вплив на розсіяння рентгенівського випромінювання, тому вважатимемо, що магнітна проникливість середовища m=1. Тоді макроскопічні рівняння Максвела для немагнітного середовища мають вигляд:

(1.1)

де r(, t) – збурена електронна густина, а - густина струму, який виникає в кристалі в результаті дії змінного зовнішнього поля. Ці величини пов’язані рівнянням неперервності:

(1.2)

Зауважимо, що під зарядовою густиною слідувало б приймати сумарну зарядову густину електронної і ядерної підсистем. Проте із-за великої маси протони дають нехтувально малий J_p~10^-6J_e вклад в розсіяну інтенсивність, тому ми обмежимося розглядом тільки електронної підсистеми.

Будемо вважати, що всі величини в (1.1) гармонічно залежать від часу: . Тоді в (1.1) і (1.2) перейдемо до Фур’є- компонент за частотами, отримаємо

(1.3а)-(1.3г)

(1.4)

Надалі для спрощення запису залежності величин у (1.3) і (1.4) від w вказуватися не будуть.

Подіємо на обидві частини рівняння (1.3а) оператором rot і замінимо в ньому правою частиною рівняння (1.3в). В результаті матимемо

(1.5а)

Відомо, що вектор в середовищі не зберігає поперечність, тому для більш зручного його використання необхідно виконати деякі перетворення. Для цього до обох частин рівняння (1.5а) додамо складову , після чого (1.5а) прийме вигляд

(1.5б)

де використано наступне визначення вектора електричного зміщення

(1.6)

Згідно (1.6) і рівняння (1.3б) і (1.4) вектор є поперечним, тобто для нього виконується умова

Тоді рівняння (1.5б) прийме вигляд

(1.7)

Зробимо деякі перетворення в (1.7), для цього скористаємось такими визначеннями:

для векторів ,

для Фур’є-компонент

(1.8)

Оскільки нас цікавлять тільки пружні процеси розсіяння, то це дозволяє обмежитись лінійним наближенням за напруженістю поля , крім того, враховуючи, що в рентгенівському діапазоні зв’язок між полем і поляризацією локальна і лінійна, тобто

, (1.9)

де скалярна функція називається поляризуємістю кристалу. Зауважимо, що множник (4p)^-1 в (1.9) нами введений для певної мети - оскільки спрощує запис наступних формул. Із (1.8) і (1.9) отримаємо

. (1.10)

Підставляючи (1.10) в (1.6), отримаємо

, (1.11)

де - діелектрична проникливість кристалу.

Виходячи з (1.10) і (1.11) знайдемо зв’язок між і :

. (1.12)

Оскільки величина в рентгенівському діапазоні надзвичайно мало відрізняється від одиниці ( ~10^-6¸ 10^-5). Тоді з врахуванням (1.12) рівняння (1.7) прийме вигляд

. (1.13)

Рівняння (1.13) описує розповсюдження в кристалі самоузгодженої системи вторинних полів, що виникають внаслідок зовнішнього збурення. Відзначимо, що рівняння (1.13) можна представити в інтегральній формі

де -зовнішнє збурення, V-об’єм середовища, - функція Гріна хвильового рівняння. Оператор rot діє на координату точки спостереження . Якщо ця точка знаходиться всередині кристалу, то підінтегральна функція сингулярна і міняти місцями оператори інтегрування і диференціювання, взагалі кажучи не можна. Інтегрування ведеться по всьому об’єму V кристалу. Підінтегральний вираз описує поле, створене в точці елементарною сферичною хвилею, яка розповсюджується із точки кристалу. Амплітуда такої хвилі пропорційна поляризуємості кристалу і значенню поля в точці її виникнення.