Системи числення та кодування

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Система числення – це спосіб запису чисел цифровими символами (цифрами) за певною сукупністю правил. У ЦТ використовується лише позиційна система числення, за якою значення кожної цифри, що входить у число, залежить від її місця розташування в записі цього числа. Кожна система числення має певний набір символів (цифр), кількість символів в якому відповідає основі даної системи числення. Позиція символу у зображенні числа називається розрядом.

У загальному випадку будь-яке число

у позиційній системі числення з постійною основою

можна відобразити числовим рядом.

де

– число знаків до коми;

– число знаків після коми;

– число в і-му розряді;

– вага і-го розряду.

У десятковій системі числення

, оскільки набір цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. У ЦТ для зображення числової інформації використовуються в основному десяткова, двійкова і шістнадцяткова системи числення.

Двійкова система числення має набір цифр {0, 1}, тому

. Будь-яке число

у двійковій системі числення можна зобразити виразом (1.1), який дає десятковий еквівалент. Наприклад,

Для практики корисно запам’ятати ваги перших 13 розрядів цифр двійкової системи чисел:

Шістнадцяткова система числення має набір цифр {0, 1,..., 9, А, В, С, D, Е, F}, тому

, де великими буквами латинського алфавіту зображені десяткові цифри відповідно 10, 11, 12, 13, 14, 15. Для будь-якого шістнадцяткового числа також легко знайти його десятковий еквівалент, якщо застосувати (1.1). Наприклад,

Вісімкова система числення має набір цифр {0, 1,..., 6, 7} і, відповідно,

. Розглянуті системи числення порівняні у табл.1.

Систем числення може бути безліч. Поряд із згаданими системами у пристроях ЦТ можна зустріти й такі, як, наприклад, трійкова (

). Очевидно, що вибір тої чи іншої системи числення залежить від певних критеріїв, які мають виконуватись для забезпечення оптимального результату.

Десяткова система числення, якою користуємось у повсякденному житті, не є найкращою з точки зору її технічної реалізації у цифрових пристроях. Відомі на сьогодні елементи, що мають десять стійких станів, щоб розрізнити всі десять символів (рівнів), наприклад, декатрони, мають невисоку швидкодію та складні для виготовлення. Отже, виникає закономірне питання: яка система числення найкраща? Вчені довели, що раціональною з точки зору мінімальних витрат умовного обладнання є система числення з основою

. Отже, трійкова система краща за двійкову? Однак з’ясувалося, що за такими характеристиками цифрових пристроїв, як швидкодія, об’єм пам’яті, техніка виконання арифметичних та логічних операцій, найкращою є двійкова система числення.

Розглянемо, чому крім десяткової та двійкової систем числення в цифровій схемотехніці використовуються ще й такі системи числення, як вісімкова, шістнадцяткова т.ін. Справа в тому, що якщо нас цілком влаштовує десяткова система, а для цифрового пристрою (мікропроцесорів, ЕОМ тощо) – виключно двійкова, бо там інформація обробляється тільки за допомогою нулів і одиниць, то проміжною, сполучною ланкою між нами і цифровим пристроєм має бути така система числення, яка була б найзручнішою як для взаємного переводу обох систем, так і для забезпечення простої технічної реалізації процедури. Для цього власне використовують поміжні системи числення – коди, за допомогою яких можна уникнути довгих ланцюжків з нулів та одиниць, які властиві двійковій системі. До таких систем кодування належить двійково-десятковий код (ДДК).

Особливість ДДК полягає в тому, що кожній десятковій цифрі даного розряду відповідав чотирибітове (група з чотирьох бітів) двійкове число – тетрада.Наприклад єднання двох тетрад дає можливість зобразити двозначне десяткове число, а з точки зору інформативності – реалізувати 16x16 – 256 двійкових комбінацій. При такому числі комбінацій можна закодувати не тільки 80 різних друкованих знаків клавіатури друкарської машинки, але й усі букви латинського алфaвіту розділові знаки, різні символи тощо. Перейти з десяткового числа до ДДК дуже просто. Наприклад:

Але при перетворенні десяткових чисел ДДК має надлишковість, бо при групуванні тетрадами шість комбінацій відпадає. Водночас при групуванні тріадами (трьома бітами), навпаки, інформативність падає. Цей факт і пояснює зручність шістнадцяткової системи числення, бо для ДДК як раз і потрібно 16 бітових комбінацій, який повністю забезпечує одна тетрода (1111

=15

). Зрозуміло, що при групуванні тріадами найзручнішою буде вісімкова система числення – там як раз вистачає 8 бітових комбінацій (111

Треба мати на увазі, що обидва коди – “16” і “8” – це тільки спосіб зображення двійкових чисел, якими оперують цифрові пристрої та мікропроцесори. Однак з точки зору інформатики код “16” має більші можливості, ніж код “8”. Перевага коду “16” над кодом “8” ще в тому, що мікропроцесори маніпулюють словами, які залежно від функціональних можливостей можуть мати набори з 4, 8, 16, або 32біт.

ДДК називають ще кодом 8-4-2-1, бо ці цифри відповідають вагам розрядів однієї тетради відповідно 2

(старшого розряду), 2

, 2

і 2⁰ (молодшого розряду). До двійково-кодованої десяткової системи числення належать й інші системи кодування.

При синтезі таких комбінаційних цифрових пристроїв, як перетворювачі кодів, що призначені для перетворення одного коду в інший, необхідно мати дані про різновиди цих систем кодування.

У табл.2 зведені найбільш поширені в ЦТ різновиди позиційних кодів. До них належать ДЦК 8-4-2-1, код 2-4-2-1 (або код Айкена), код з лишком 3 (або код [8-4-2-1] + 3), код Грея та циклічний код Джонсона.

ДЦК 8-4-2-1, який утворений і зображеннями кожної десяткової цифри вагами 2

-2

, є найбільш поширеним, тому його найчастіше застосовують для переводу в інший код.

ДЦК з лишком 3 (8-4-2-1) + 3 застосовують для кодування декад при двійково-десятковому зображенні чисел. Особливістю цього коду є те, що всі тетради мають значення на три одиниці більше від тетради коду 8-4-2-1.

Таку властивість самодоповнення має код Айкена (2-4-2-1). Для цього коду ваги розрядів тетради відповідно дорівнюють 2

-2

. Таблиця кодування, як видно з табл.2, поділяється на дві частини: 0-4 – це тетради, що повторюють еквіваленти; 5-9 – кожна тирада у ДЦК має лишок + 0110. Така властивість коду Айкена дозволяє довільну цифру одної частини таблиці перетворити на її доповнення до 9 простим інвертуванням.

Особливе місце серед позиційних систем кодування посідають код Грея і циклічний код Джонсона. Це спеціальні коди, які мають непостійні ваги розрядів.Якщо у двійковому коді при переході від зображення одного числа до зображення наступного може відбуватись одночасна зміна цифр у кількох його розрядах, то в кодах Грея і Джонсона сусідні числа відрізняються цифрою (1 або 0) тільки в одному розряді. Така особливість цих кодів запобігає появі джерела помилки у роботі апаратури у тих випадках, коли здійснюється послідовний перехід (зміна) числа з одного такту в наступний (наприклад, від 6 до 5).

У циклічному коді Джонсона перехід до наступного числа здійснюється шляхом послідовної заміни 0 на 1 до заповнення всіх розрядів одиницями, а потім заміною 1 на 0 до заповнення нулями. Помилки за допомогою кода Джонсона виявляються тоді, коли у “хвилі нулів” цього коду з’являється одна або кілька одиниць, а в “хвилі одиниць” – відповідно один або кілька нулів.

Крім розглянутих існує безліч інших типів та різновидів кодів. Зокрема, для спрощення арифметичних операцій існують спеціальні арифметичні коди. До таких кодів належать обернений код числа

, який отримується простою зміною у цьому числі всіх нулів одиницями, а одиниць нулями, і доповняльний код двійкового числа

, який утворюється з оберненого

шляхом додавання одиниці до його молодшого розряду (див. табл.2).

Арифметичні операції над двійковими числами виконуються за такими самими правилами, як і над десятковими. Однак з метою спрощення структури цифрових пристроїв для виконання арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) застосовують алгоритми, які не властиві для звичайної десяткової арифметики.

Окреме місце у ЦТ займає кодування алфавітно-цифрової інформації. Сюди належить текстова інформація, що являє собою послідовність алфавітно-цифрових символів, кожний з яких (буква, цифра, розділовий або математичний знак тощо) підлягає кодуванню. Щоб не було подвійного тлумачення, тобто щоб кожному символу відповідав тільки один код, застосовують спеціально призначені для цього стандартні коди. Зокрема, найчастіше в ЕОМ типу ІВМ застосовують код ASCII (American Standart Code of Information Interchange) – американський стандартний код обміну інформацією, де, наприклад, десятковому числу 1 відповідав код 00010000(2

), числу 2 – код 00010001, числу 3 – код 00010010 тощо, а букві А – код 00011000, букві В – код 00011001, букві С – код 00011010 т.ін.

Наукове товариство ім.Т.Г.Шевченка у Львові з метою українізації комп’ютерів рекомендує дотримуватися кодування української абетки за кодовою таблицею USCII*, що гарантує хорошу сумісність програмного та інформаційного забезпечення персональних комп’ютерів типу ІВМ РС.

* Костирко В.С., Кульчицький І.М. Про кодування букв української абетки та програмне забезпечення для використання її на персональних комп’ютерах. – Львів; НТШ у Львові, 1990.