Интегрирование рациональных функций

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. двух многочленов

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени полинома знаменателя.(m< n)

Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя (m³ n)

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь M(x)- многочлен, правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

I.

II.

III. (не имеет действительных корней)

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

, то дробь

может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Для определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следущем:

В правой части разложения простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен P(x),

после чего знаменатель P(x) в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен F(x), а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов

Например:

Найти интеграл

Подынтегральная дробь неправильная. Поэтому надо сначала выделить целую часть. Для этого поделим многочлен на многочлен и данную дробь представим в виде суммы многочлена и правильной дроби:

Напишем разложение

Приводим к общему знаменателю, и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

Отсюда A= -1, B=1

Окончательно имеем

Следовательно

Пример 2

Напишем разложение:

Приводим его к общему знаменателю и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

A+C=1

2A+B+4C+D=6

4A+4C+4D=8

8A+4B+4D=8

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид