Закон больших чисел

Как мы знаем, нельзя заранее предвидеть, какое из возможных событий примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин.

Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем скромными сведениями, вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

Но оказывается, что суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Неравенство Чебышева: (справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин). Рассмотрим для дискретного случая.

Пусть

- вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем .

Доказательство: ,

.

Найдем дисперсию

Очевидно, что все слагаемые этой суммы неотрицательные. Отбросим те слагаемые, у которых , значит сумма от этого может только уменьшиться

Но , т.е.

Значит, ч.т.д.

Теорема Чебышева:

Если попарно независимые случайные величины, причем , то для любого малого

Пояснение: Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий – среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большей вероятностью принимает значения, близкие к постоянному числу .

Итак, среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины.

Теорема Бернулли (закон больших чисел):

,

где - относительная частота, p - вероятность появления события A.

Пример: Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что

, если .

Решение:

.