Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться, либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна равна p (вероятность не появления q=1-p). Пусть X – число появлений события A в этих испытаниях. Найдем закон распределения величины X:

Найдем мат.ожидание и дисперсию.

Очевидно, что общее число появлений события А складываетсяиз чисел появлений события в отдельных испытаниях, т.е.

, значит .

Аналогично,

, т.е. .

Пример: Проводятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0, 6. Найти закон распределения, мат.ожидание и дисперсию случайной величины X – числа появления события в этих испытаниях.

Решение: n=10; p=0, 6; q=0, 4.

· Если же в задаче количество испытаний велико, то вместо формулы Бернулли используют асимптотическую формулу Лапласа

где .

Причем, - имеются таблицы для этой функции.

· Если же в задаче количество испытаний велико, а р – мало (), то используют асимптотическую формулу Пуассона

где . Это закон распределения Пуассона.

Пример:

Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если р=0, 2.

Решение:

n=400; k=80; p=0, 2; q=0, 8.

По формуле Лапласа

,

По формуле Бернулли

Замечание: Если n=10; k=8; p=0, 75; q=0, 25, то

По формуле Лапласа ,

,

По формуле Бернулли

.

Вывод: Так как n – мало, то расхождение большое.

Пример: Завод отправил на базу 5000 доброкачественных деталей. Вероятность того, что изделие в пути повредится 0, 0002. Найти вероятность того, что на базу придут 3 негодных изделия.

Решение: Если n=5000; k=3; p=0, 0002, то по формуле Пуассона

где .

Значит,