Принципы аппроксимации

Самый простой вид аппроксимации — ступенчатая. Она заключается в представлении (замене) синусоидального колебания напряжением ступенчатой формы, весьма мало отличающейся от синусоидальной кривой (рис. 4.6, а). Аппроксимируемое синусоидальное напряжение

u(t) = U_msin ω t дискретизируют во времени (равномерная дискретизация с шагом Δ t) и в интервале,

разделяющем два соседних момента времени t _i, и t _i+1, синусоидальное колебание заменяют напряжением постоянного тока — ступенькой, высота которой равна значению аппроксимируемого напряжения в момент t _iт.е. U(ti) - U_m sinω t _i,. В результате такой замены вместо кривой синусоидальной формы получают ступенчатую линию, изображенную на рис. 4.6, а.

При имеющемся периоде Т гармонического колебания число ступенек р, приходящихся на один период, определяют шагом дискретизации: р = T/Δ t. Если же из технических соображений число ступенек задано, то изменение шага дискретизации приводит к изменению периода формируемого напряжения, поскольку Т = pΔ t. Учитывая, что t _i = iΔ t, уравнение ступенчатой кривой представляют как U(iΔ t) =U_m sin(i ω Δ t) или с учетом p и ω = 2π /Т:

U(iΔ t) =U_m sin(i2π /p).

Ступенчатая кривая тем точнее приближается по форме к синусоиде, чем больше выбрано число ступеней р. Когда это число велико, ступенчатое напряжение можно рассматривать как низкочастотное синусоидальное напряжение, немного искаженное высокочастотной аддитивной помехой.

Спектральный анализ напряжения, полученного путем ступенчатой аппроксимации, показывает, что его спектр содержит гармонику основной частоты и ряд высших гармоник. При этом оказывается, что ближайшей к основной высшей гармоникой будет составляющая с номером

р - 1, следующей — гармоника номера p + 1, затем гармоники номеров 2p - 1 и 2p + 1 и т.д. Например, при р = 25 и частоте напряжения ƒ основной гармоники ближайшими высшими гармониками будут 24-, 26-, 49-, 51-я гармоники, т.е. напряжения частот 24ƒ, 26ƒ, 49ƒ, 51ƒ. Такие соотношения между основной и высшими гармониками позволяют легко осуществить высококачественную фильтрацию, резко ослабляющую уровни высших гармоник, т.е. получить синусоидальное напряжение, характеризуемое достаточно малым коэффициентом нелинейных искажений.

Структурная схема цифрового генератора представлена на рис. 4.6, б. Импульсный кварцевый генератор вырабатывает периодическую последовательность коротких импульсов с периодом следования Т. На выходе делителя частоты с регулируемым коэффициентом деления g получается периодическая последовательность импульсов с периодом следования Δ t = gT, задающим шаг дискретизации. Импульсы поступают в счетчик емкостью р. Кодовая комбинация, определяемая числом i импульсов, накопленных в счетчике, передастся в схему ЦАП. Последний вырабатывает напряжение, соответствующее числу i, т.е. u(iΔ t) = U_msin(i2π /p). Таким образом формируют p ступенек аппроксимируемой кривой. При накоплении р импульсов счетчик переполняется и сбрасывается в нуль. С приходом (р + 1)-го импульса начинается формирование нового периода ступенчатой кривой. Частоту формируемого колебания при фиксированном числе ступенек р регулируют, меняя шаг дискретизации Δ t, что достигается изменением коэффициента деления g делителя частоты.