Теорема Гаусса.

Введем понятие потока вектора . Рассмотрим поток через площадку , расположенную произвольным способом на расстоянии от точечного заряда q. Если мы разместим площадку на том же расстоянии, но перпендикулярно вектору напряженности, то выполняется соотношение . . Телесный угол, под которым видна площадка . Обратите внимание, поток не зависит от того, как расположена площадка. Интегрируя по всей сфере, получим поток вектора напряженности для всей сферы, окружающей заряд . Любую систему зарядов можно представить, как состоящую из ряда точечных зарядов.

Сформулируем окончательно теорему Гаусса: поток вектора напряженности стационарного электрического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Под здесь подразумевается сумма всех зарядов, расположенных внутри замкнутой поверхности. Теорема Гаусса связывает напряженность поля с источником – зарядами.

Рассмотрим случаи применения теоремы Гаусса.

Бесконечная заряженная плоскость.

Рассмотрим поле бесконечной положительно заряженной плоскости. Так как плоскость бесконечна, в любой точке напряженности поля одинаковы и перпендикулярны плоскости. Представим себе поверхность в виде параллелепипеда с площадью основания S. Поток напряженности через верхнюю и нижнюю грани равен . Поток напряженности через боковую поверхность равен нулю, так как вектор напряженности перпендикулярен вектору площади. С другой стороны, заряд внутри параллелепипеда равен . Подставляя эти соотношения в, получим . .

Две бесконечные противоположно заряженные плоскости. Вне плоскостей E = 0. Между плоскостями напряженности поля от обоих плоскостей складываются.

.

Заряженная сфера (заряд Q и радиус сферы R). Окружим заряженную сферу воображаемой сферой радиусом r. Из соображений симметрии очевидно, что в любой точке вектор перпендикулярен поверхности сферы и интеграл равен 4π r²E. С другой стороны, по теореме Гаусса этот интеграл равен Q/ε ₀ при r > R и 0 при r < R. Отсюда при r > R и E = 0 при r < R.

Однородно заряженный шар. Выделим мысленно сферу внутри шара. Тогда по теореме Гаусса: . Где плотность заряда . Окончательно получаем: ().

Вне шара формула такая же, как для точечного заряда. Это легко доказать, окружив шар сферой радиусом и применить теорему Гаусса используя сферическую симметрию задачи.

Однородно заряженная нить.

Линейная плотность заряда λ. Окружим нить цилиндром радиусом r и длиной l. Поток напряженности через боковую поверхность равен: . Поток через торцы равен нулю, поскольку вектор напряженности перпендикулярен нормали к поверхности. Применим теорему Гаусса.

. Отсюда .

_____________________

Теорему Гаусса можно записать в дифференциальном виде.

Для того, чтобы преобразовать интеграл по поверхности, возьмем поверхность в виде кубика с гранями dx, dy, dz. Рассмотрим поток через грани, параллельные плоскости YZ:

Аналогично и

Используем теорему Гаусса Плотность заряда

Введя обозначение , получим

.

С помощью оператора “набла”